专题19 导数综合-2023年高考数学真题题源解密（新高考卷）

专题19 导数综合 目录一览 2023真题展现 考向一 利用导数研究函数的极值 考向二 利用导数研究函数的单调性 真题考查解读 近年真题对比 考向一 利用导数研究函数的单调性 考向二 利用导数研究函数的最值 命题规律解密 名校模拟探源 易错易混速记/二级结论速记 考向一 利用导数研究函数的极值 1．（2023•新高考Ⅱ•第22题）（1）证明：当0＜x＜1时，x﹣x2＜sinx＜x； （2）已知函数f（x）＝cosax﹣ln（1﹣x2），若x＝0为f（x）的极大值点，求a的取值范围． 考向二 利用导数研究函数的单调性 2．（2023•新高考Ⅰ•第19题）已知函数f（x）＝a（ex+a）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna． 【命题意图】 考查导数的应用．考查求导公式，导数几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，函数零点等问题．体会数形结合思想，分类讨论思想，化归和转化思想． 【考查要点】 导数是必考内容，难度、广度和深度较大．常规基础考查求导公式与几何意义．中等难度考查求单调区间、极值、最值等．压轴题考查零点、不等式证明、恒成立或者存在问题、分类讨论求参数等，和数列、不等式、函数等知识结合． 【得分要点】 1、导数和函数的单调性的关系 （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间． （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2．求函数f（x）的极值的步骤 （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）． （2）求方程f′（x）＝0的根． （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值． 3．用导数求函数的最值步骤： 设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求f（x）在（a，b）内的极值． （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出f（x）在[a，b]上的最值． 4．利用导数研究曲线上某点切线方程 （1）确定切点． （2）求斜率，即求曲线上该点的导数． （3）利用点斜式求出直线方程． 5．函数恒成立问题 恒成立问题最后都转化为求最值问题，常用的方法是分离参变量和求导． 考向一 利用导数研究函数的单调性 3．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝xeax﹣ex． （1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x＞0时，f（x）＜﹣1，求a的取值范围； （3）设n∈N*，证明：++…+＞ln（n+1）． 4．（2021•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）设a，b为两个不相等的正数，且blna﹣alnb＝a﹣b，证明：2＜+＜e． 5．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣ax2+b． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：f（x）恰有一个零点． ①＜a≤，b＞2a； ②0＜a＜，b≤2a． 考向二 利用导数研究函数的最值 6．（2022•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值． （1）求a； （2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列． 导数是必考内容，难度、广度和深度较大．常规基础考查求导公式与几何意义．中等难度考查求单调区间、极值、最值等．压轴题考查零点、不等式证明、恒成立或者存在问题、分类讨论求参数等，和数列、不等式、函数等知识结合． 一．利用导数研究函数的单调性（共17小题） 1．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知函数f（x）＝xex+ax2+ax﹣1． （1）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的值； （2）若函数F（x）＝2f（x）﹣ax2﹣（4a+1）x﹣2lnx恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围． 2．（2023•沈河区校级模拟）已知函数f（x）＝xlnx． （1）求f（x）的单调区间； （2）若x1＜x2，且f（x1）＝f（x2）＝a，证明：ae+1＜x2﹣x1＜a+1． 3．（2023•天津一模）已知函数f（x）＝x•lnx． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的单调区间； （Ⅲ）若对于任意，都有f（x）≤ax﹣1