1.3-正方形的性质与判定（第二课时） 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级上册

1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第2课时 正方形的判定 问题1：你是如何判断是平行四边形，矩形、菱形? 问题2：什么是正方形?正方形有哪些性质? A B C D O 正方形：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形. 正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分. 想一想：将矩形纸片对折两次,怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形? （1） （2） （3） （4） 只要保证剪口线与 折痕成450角即可. 只要保证AO=BO 菱形 问题2：满足怎样条件的矩形是正方形? 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 问题3：满足怎样条件的菱形是正方形? 正方形 一个角是直角 对角线相等 1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形. 4.对角线相等的菱形是正方形. 定理 正方形判定的两条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件 菱形条件 (1) (2) 一个直角 对角线相等 一组邻边相等 对角线垂直 正方形的判定 ∵四边形ABCD是矩形 AC⊥BD, ∴四边形ABCD是正方形. 定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. A B C D 正方形的判定 A B C D ∵四边形ABCD是菱形, ∠A=900, ∴四边形ABCD是正方形. 定理:有一个角是直角的菱形是正方形. 有一个角是90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 平行四边形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且一个内角为直角 （或对角线互相垂直平分且相等） 有一个角是90° （或对角线互相垂直） 有一对邻边相等 （或对角线相等） 例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形. 正方形判定定理的应用 F A B E C D 解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一组邻边相等,得出是菱形；最后可由一个直角得正方形； 45° 45° F A B E C D 证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE, ∴四边形BECF是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形, ∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°, ∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB, ∴∠EBC = ∠ABC=45°, ∠ECB =∠DCB= 45°, ∴ ∠ EBC =∠ ECB . ∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 . 在△EBC中 ∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°, ∴∠BEC = 90°, ∴菱形BECF是正方形. 如图,任意画一个四边形，顺次连结四边形 四条边的中点，所得的四边形有什么特点？ 请证明你的结论，并与同伴交流。 中点四边形 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、DA的中点。 猜想：四边形EFGH的形状有什么特征？ 证明你的结论。 F G C A E B D H 证明:连接AC. ∵E,F,G,H分别为各边的中点, ∴EF//HG,EF=HG ∴EF∥AC, HG∥AC, ∴四边形EFGH是平行四边形. EF是△ABC的 中位线, HG是△DAC的 中位线 问题：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？ 平行四边形 矩形 菱形 正方形 原四边形可以是： 特殊四边形的中点四边形： 平行四边形的中点四边形是平行四边形 菱形的中点四边形是矩形 矩形的中点四边形是菱形 正方形的中点四边形是正方形 B1 A1 D1 C1 任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？ 先猜一猜，再证明． 证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴AD＝AB＝BC， ∠A＝∠B＝90° 又∵D1,A 1,B 1是 DA 、 AB、BC的中点 ∴AD1＝AA1＝A1B＝BB1 ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45° ∴∠D1A1B1＝180°－∠1－∠3＝90°同理：∠A1B1C1＝90°　∠B1C1D1＝90° ∴四边形A1B1C1D1是矩形（ ① ） 在△D1AA1和△A1BB1中 AD1=AB1∠A=∠B,AA1=BB1 ∴△D1AA1≌△A1BB1(SAS) ∴A1D1＝A1B