抽象函数问题 课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第三章函数 抽象函数问题 好 1.了解函数模型的实际背景 2,会运用函数的解析式理解和研究函数的性质 抽象函数 解析式 f(x1+x2)= f(xx2) f(x1+x2)= f(x1)+f(x2) =f(x)+fx2) f(x1)f(x2) 抽象函数 的类型 正比例函数型 等价形式 f(x1一x2)= f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) 1-) 实例 f(x)=2x 例1：设函数fX对任意X,yeR,都有fX+少=fX+fyM 且当X0时，fX<0,f1)=-2 (1)求证：fX是奇函数： (2)试问当-3≤X≤3时，fX)是否有最值？如果有，求出最 值；如果没有，说出理由 (1)证明：令X=y=0, 则有fio)=2fo)=fo)=0 令y=-X,则有fo)=fX)+f-X. 即f-X)=-fX).fX)是奇函数 2)解：当-3≤X≤3时，fX)有最值， 理由如下 任取X<X2,则X2-X>0=fX2-X)0 f(X)-f(X2)=f(x)+f(-X2)=f(X:-X2)=-f(X2-X)>0. fX)>fX2).y=fX)在R上为减函数 因此f(3)为函数的最小值，f(-3)为函数的最大值 f3)=f1)+f2)=3f1)=-6,f-3)=-f3)=6 函数f(X)的最大值为6，最小值为-6 【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如 下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉 函数符号“「”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号 f (2)解决fX+y)=fX)+fy)型抽象函数的一般步骤为： f(o)=0=f(X) 是奇函数÷fX-y)=fX)-fy)=单调性 (3)判断单调性小技巧：设X,<X2,则X2-X,>0=fX2-X1)<0 fX2)=fX2一X,+X)=fX2-X)+fX)<fX),得到函数单调递 减 【互动探究】 1.已知定义在R上的函数fX)满足fX+y)=fX)+fy,则下 列判断错误的是( Af(0)=0 er ()=y ( cf1)=(2) Df(xf(一x)<O 解析：.f(0)三f(0+0)三f(0)+(0) .f(0)=0. A=) f(2)三f(1+1)三f(1)+f(1)=2(1), f(10=(2) fxy(一x)=一fx)]≤0.故选D 答案：D 例2：已知函数fX)的定义域为{XX∈R,且X0},对定义 域内的任意X1,X2都有fX,X2)=fX)+fX2),且当X>1时fX)>0, f2)=1. (1)求证：f(X)是偶函数： (2)求证：f(X)在(0，+o)上是增函数： (3)解不等式f(2X2-1)<2 (1)证明：对定义域内的任意x1,x2都有 f(x1x2)f(x1)+f(x2). 令x1=x,x2=一1，则有f(一x)fx)+f(一1) 又令x1=x2=一1，得2(-1)=f(1). 再令x1=x2=1,得f(1)=0.从而f(一1)=0. 于是有f(一x)=fx),所以fx)是偶函数. (2)证明：设0<x1<x2, 则f)fc)fc)c)-cD+}=