4.5.3函数模型的应用 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A 版（2019）必修第一册

4.5.3 函数模型的应用 常见函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0); (2)反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0); (3)二次函数模型:f(x)=a+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); 注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见. 复习回顾 (4)指数函数模型:f(x)=a·+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1); (5)对数函数模型:f(x)=mx+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1); (6)幂函数模型:f(x)=a+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1); (7)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 章节框架 我们知道 ， 函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画 ． 面临一个实际问题 ， 该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？ 问题引入 例3.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 ． 认识人口数量的变化规律 ， 可以为制定一系列相关政策提供依据 ． 早在 1798 年 ， 英国经济学家马尔萨斯 （ T.R.Malthas ，1766 — 1834） 就提出了自然状态下的人口增长模型 ，其中 t 表示经过的时间 ， 表示 t＝０ 时的人口数 ， r 表示人口的年平均增长率 ． （1） 根据国家统计网局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万。根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1951~1958年期间的具体人口增长模型。 （2） 利用(1)中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数。查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口数， 检验所得模型与实际人口数据是否相符。 （3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？ 典例分析 分析 ： 用马尔萨斯人口增长模型 建立具体人口增长模型 ， 就是要确定其中的初始量 和年平均增长率 r． 设1950～1959 年我国人口年平均增长率为 r ， 有67207=55196 由计算工具得我国1950年至1959年期间人口年平均增长率 r 我国1950年至1959年期间人口增长模型为 y=55196 ，t 问题1：如何确定和r的值？ 解：（1）由题意知=55196 典例分析 问题2：如何检验所得模型与实际人口数据是否相符？ 可以利用我们确定的人口增长模型求得我国各年末人口总数，再与国家统计局网站 公布的各年末的实际人口总数相比较检验所得模型与实际人口数据是否相符。 另一方面，我们也可以画出建立的函数模型的图象，并根据国家统计局网站公布的 各年末的实际人口总数数据画出散点图，通过图象观察所得模型与实际人口数据 是否相符。 新知探究 解：（2）分别取t=1,2,…，8，由y=551961951～1958年间的各年末人口总数 查阅国家统计局网站，得到我国1951～1958年各年末的实际人口总数，如下表所示 年份 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 计算所得人口总数/万 56417 57665 58940 60243 61576 62938 64330 65753 实际人口总数/万 56300 57482 58796 60266 61465 62828 64563 65994 根据1950~1959年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数y=55196 典例分析 由表格和图象 可以看出 ， 所得模型与 1950～1959 年的实际人口数据基本吻合 ． （3）将y=130000代入y=55196 由计算工具得t 所以，如果按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年）， 我国人口就已达到13亿 典例分析 事实上 ， 我国 1989年的人口数为 11.27亿 ， 直到 2005年才突破13 亿 ． 对由 函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？ 因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 ２０ 世纪 ７０ 年代逐步实施了计划生育政策 ． 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件 ， 自然就出现了依模型得到的结果 与实际不符的情况 ． 在利用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件 例4. 2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳