4.5.2 用二分法求方程的近似解 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.5.2 二分法求方程的近似解 1、函数的零点的定义： 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point） 复习回顾 2、零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线， 并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。 复习回顾 我们已经知道，函数在区间（２，３） 内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ 问题引入 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围． 区间一分为二后 如何知道零点所在的区间在哪半边呢？ 新知探究 零点所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号 （2，3） f(2)<0,f(3)>0 2.5 f(2.5)<0 （2.5，3） f(2.5)<0，f(3)>0 2.75 f(2.75)>0 （2.5，2.75） f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0 （2.5，2.625） f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.562 5 f(2.562 5)>0 （2.531 25，2.562 5） f(2.5)<0 f(2.562 5)>0 （2.5，2.562 5） f(2.531 25)<0 f(2.562 5)>0 f(2.531 25)<0 2.539 062 5 2.546 875 （2.531 25，2.546 875） 2.531 25 f(2.539 062 5)>0 f(2.531 25)<0 f(2.546 875)>0 （2.531 25，2.539 062 5） f(2.546 875)>0 f(2.531 25)<0, f(2.539 062 5)>0 列出下表： 2.53515625 f(2.53515625)>0 零点所在区间越来越小 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值． 新知探究 由于 所以，可以将 作为函数 零点的近似值，也即方程 的近似根. 例如当精确度为0.01时， 说明：精确度为0.01是指| 想一想：当 时，此时是否区间 内任意一点都可以作为零点的近似值？ 新知探究 概念生成 总结提升 给定精确度 ,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下： 1.确定区间 ，验证 ，给定精确度 ； 2.求区间（a,b）的中点c； 3.计算 （1）若 ，则c就是函数的零点； （2）若 ,则令b=c(此时零点x0∈(a,c))； （3）若 ,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)). 即若 ，则得到零点近似值a(或b）； 4.判断是否达到精确度 ： 否则重复步骤2～4． 由于函数的零点就是相应方程的解，我们可以用二分法求方程的近似解 总结提升 小试牛刀 小试牛刀 小试牛刀 小试牛刀 例1.借助信息技术，用二分法求方程+3x=７的近似解（精确度为0.1）． 解：原方程即+3x-7=0，令+3x-７，用信息技术画出函数的图象并列出它的对应值表; 典例分析 观察图或表，可知f（１）f（２）＜０，说明该函数在区间（１，２）内存在零点．取区间（１，２）的中点＝１．５，用信息技术算得 f（1.5）≈0.33．因为f（１）f（1.5）＜０，所以∈（１，1.5）． 　再取区间（１，1.5）的中点＝1.25，用信息技术算得 f（1.25）≈－0.87．因为f（1.25）f（1.5）＜０， 所以∈（1.25，1.5）．同理可得，∈（1.375，1.5），∈（ 1.375 ， 1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1， 所以，原方程的近似解可取为1.375 ． 典例分析 变式练习 变式练习 由例2可知，用二分法求方程的近似解，计算量较大， 而且是重复相同的步骤。因此，可以设计一定的计算 程序，借助信息技术完成计算