22.3 二次函数与最大利润问题 教案 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 22.3实际问题与二次函数 第2课时二次函数与最大利润问题 一、教学目标 1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. 二、教学重难点 重点：应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题. 难点：商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围. 三、教学过程 【新课导入】 （1）营销问题的基本等量关系： 总利润=每件利润×销售量 每件利润=每件售价﹣每件进价. （2）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的最值问题： ①若a>0，则当x= 时，y最小值= ②若a<0，则当x= 时，y最大值= . [思考] 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 涨价销售 ①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空： [分析] 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 20 300 6000 涨价销售 20+x 300-10x y=(20+x)(300-10x) 建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),即：y=-10x2+100x+6000. ②自变量x的取值范围如何确定？ [分析]营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30. ③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ [分析]y=-10x2+100x+6000， 当 x= =5时,y=-10×52+100×5+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元. [思考] 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 降价销售 [提出问题]①设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空： 单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 20 300 6000 涨价销售 20-x 300+20x y=(20-x)(300+20x) 建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，即：y=-20x2+100x+6000. [提出问题]②自变量x的取值范围如何确定？ [分析]营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20. [提出问题]③涨价多少元时，利润最大，是多少？ [分析]即：y=-20x2+100x+6000， 当 x=- =2.5 时，y=-202 +100 +6000=6125 即定价57.5元时，最大利润是6125元. 综合可知，应定价65元时，才能使利润最大. [归纳总结]求解最大利润问题的一般步骤 （1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2） 结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图， 利用简图和性质求出. [思考] 东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为 t+30，（1≤t≤24，t为整数） P= - t+48，（25≤t≤48，t为整数） 且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量y（kg） 118 114 108 100 80 … 已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？ 解：依题意，设y=kt+b，将（10，100），（20，80）代入y=kt+b， 100=10k+b k=-2， 80=20k+b 解得： b=120. ∴日销售量y（kg）与时间t（天）的关系 y=120-2t， 当t=30时，y=120-60=60， ∴在第30天的日销售量为60千克. [思考] （2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ 解：设日销售利润为W元，则W=（p-20）y， 当1≤t≤24时，W=（-2t+120）（t+30-20）=- （t-10）2+1250 当t=10时，W最大=1250；