22.2 二次函数与一元二次方程 教案 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 一、教学目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.(难点） 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.（重点） 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 二、教学重难点 重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 难点：通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系. 三、教学过程 【新课导入】 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的关系.如果我们从二次函数的角度看一元二次方程，那么二次函数与一元二次方程又有什么关系呢？先来看下面的问题. [思考]如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2， 考虑以下问题： （1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ ( 结合上图，思考为什么在两个时间求的高度都为 15 m ？ m15m ？ ) 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1, t2=3. ∴当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m. （2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ ( 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为 20 m ？ )解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当小球飞行2秒时，它的高度为20米. （3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ 解方程： ( 你能结合图形指出为什么球不能达到 20.5 m 的高度 ? )20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无实数根. 即小球的飞行高度达不到20.5米. （4）球从飞出到落地要用多少时间？ 小球飞出和落地时的高度都为0，解方程 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面. 从上面可以看出二次函数与一元二次方程关系密切． [思考]已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程 －x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 一般地，我们可以利用二次函数y = ax2+bx+c 深入讨论一元二次方程ax2+bx+c =0 又可以看作已知二次函数 的值为0，求自变量x的值． [思考]观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-6x+9； （3）y=x2-x+1. 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 0个 x2-x+1=0，无解 y = x2－6x＋9 1个 0 x2-6x+9=0，x1=x2=3 y = x2＋x－2 2个 -2, 1 x2+x-2=0，x1=-2,x2=1 [归纳总结]二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac> 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac< 0 [思考]已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不 同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴ x12 ＋ x22 ＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. [思考]求一元二次方程x²-2x-1=0的根的近似值（精确到0.1）. [分析]一元二次方程x²-2x-1=0的根就是抛物线y=x²-2x-1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横