22.3 实际问题与二次函数 学案 2023-2024学年人教版九年级数学上册

22.3 实际问题与二次函数 【知识梳理】 二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【核心考点精讲】 一．二次函数的最值（共4小题） 1．二次函数y＝（x﹣1）2﹣3的最小值是（　　） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 2．若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 　 　． 3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x经过点A（3，4）． （1）求a的值； （2）过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，在直线AB上任取一点P，作点A关于直线OP的对称点C； ①当点C恰巧落在x轴时，求直线OP的表达式； ②连结BC，求BC的最小值． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3． （1）在图①中，P是BC上一点，EF垂直平分AP，分别交AD、BC边于点E、F，求证：四边形AFPE是菱形； （2）若菱形AFPE的四个顶点都在矩形ABCD的边上，当菱形的面积最大时，菱形的边长是 　 　． 二．根据实际问题列二次函数关系式（共4小题） 5．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（　　） A．y＝x2+a B．y＝a（1+x）2 C．y＝（1﹣x）2+a D．y＝a（1﹣x）2 6．退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 　 　． 7．n个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n（n≥2）之间的函数关系是 　 　． 8．如图，矩形DEFG的四个顶点分别在正三角形ABC的边上．已知△ABC的边长为4，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x． （1）求S关于x的函数表达式． （2）当S时，求x的值． 三．二次函数的应用（共5小题） 9．如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为xm，另一边的长为ym，矩形的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，那私么y与x，S与x满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 10．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围． 11．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30） （1）写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 12．某商场购进A、B两种商品进行销售，已知购进4件A商品和6件B商品需260元，购进5件A商品和4件B商品需220元．两种商品以相同的售价销售，A商品的销售量y1（件）与售价x（元）之间的关系为y1＝310﹣5x；当售价为40元时，B商品可销售100件，售价每提高1元，少销售3件． （1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？ （2）当商品售价为多少元时，A、B两种商品