21.2解一元二次方程【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程【素养基础达标】 2023-2024学年人教版数学九年级上册 基础知识梳理 2.解一元二次方程的方法 直接开平方法 定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的方法叫做直接开平方法 总结 一般的，对于可化为的方程 ①当p>0时，方程有两个不相等的实数根，； ②当p=0时，方程有两个相等的实数根=0； ③当p<0时，方程无实数根. 配方法 定义 通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。即把方程化为的形式 总结 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 ①当p>0时，方程有两个不等的实数根 ， ②当p=0时，方程有两个相等的实数根 ③当p<0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程无实数根. 方法步骤 一移常数项，并将二次项系数化为1； 二配完全平方,等号两边同时加上一次项系数一半的平方。（常数项等于一次项系数一半的平方） 三写成； 四直接开平方法解方程. 配方步骤 （前提先化为一般式） 移项得：........移常数项 系数化为1：........二次项系数化为1 配方：.....配常数项，等号两边同时加上一次项系数一半的平方 开方： 公式法 根的判别式 定义：一般地，式子△=叫做一元二次方程根的判别式 求根公式的定义 当Δ=≥0时，方程的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式. 判别式△=的根的情况 判别式的情况 根的情况 根 △=>0 两个不相等的实数根 ， △==0 两个相等的实数根 =； △=<0 没有实数根 △=0 有实数根 方法步骤 ①把一元二次方程化为一般形式 ②确定系数a，b，c的值 ③求出的值，判断根的情况 ④利用求根公式 因式分解法 定义 使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 基本思想 如果a·b=0， 那么a=0或b=0. 方法步骤 一移——使方程的右边为0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解 因式分解的四种方法 ①提公因式法：ma+mb=m(a+b) ②平方差：= ③完全平方：=；= ④十字相乘法 3.一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系 （△=） 两根之和 两根之积 ||= 素养基础达标 一．选择题（共10小题） 1．若关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 2．关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 3．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．已知，是一元二次方程的两根，则的值是　　 A． B． C． D． 5．一元二次方程的解　　 A． B． C．， D．， 6．一元二次方程根的情况是　　 A．无实数根 B．有两个正根，且有一根大于2 C．有两个负根，且都小于 D．有一个正根，一个负根 7．当时，关于的一元二次方程的根的情况为　　 A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 8．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是　　 A．9 B．6 C．4 D． 9．已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是　　 A．15 B．13 C． D．9 10．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 11．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是 　　． 12．已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为　　． 13．一元二次方程的解为　 　． 14．若，则　　． 15．若实数，分别满足，，且，则代数式的值为 　　． 16．若，，则与的大小关系为 　　． 17．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 　　． 18．在平面直角坐标系中，已知点，，满足，则的长为 　　． 三．解答题（共8小题） 19．用适当的方法解方程： （1）； （2）． 20．解方程： （1）（用配方法解）； （2）（用公式法解）； （3）（用因式分解法）． 21．解下列方程： （1）； （2）． 22．解方程：． 23．已知：关于的方程． （1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程有一个根为3，试求的值． 24．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对