24.1圆的有关性质【素养基础达标】2023-2024学年人教版数学九年级上册

24.1圆的有关性质【素养基础达标】 2023-2024学年人教版数学九年级上册 基础知识梳理 1.圆的概念 圆的旋转定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，一般用r表示． 圆的表示法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”. 确定一个圆需要的“两要素” 一是圆心，圆心确定其位置； 二是半径，半径确定其大小． 注意：圆是一条封闭的曲线，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”； 圆的集合定义 圆心为O、半径为r的圆可以看成是平面内所有到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的点的集合． 结论 (1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长（半径r）． (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 数学语言 （1）∵点A、B在圆上 ∴OA=OB （2）∵OA=OB ∴点A、B在圆上 2.圆的有关概念 弦 定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 经过圆心的弦叫做直径 注意：1.弦和直径都是线段； 2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径. 直径是最长的弦 弧 定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”。以A、B为端点的弧记作 读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 劣弧 小于半圆的弧叫做劣弧,如 优弧 大于半圆的弧叫做优弧，如 等圆 定义;能够重合的两个圆叫做等圆. 等圆是两个半径相等的圆. 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 注意：等弧仅仅存在于同圆或者等圆中. 3.垂直于弦的直径 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对轴. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 数学语言： ∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，(条件) ∴AP=BP，(结论) 垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 数学语言： ∵CD是⊙O的直径，AP=BP，AB不是直径(条件) ∴CD⊥AB，(结论) 弓形中的重要数量关系 弦长a，弦心距d（指圆心O到弦的距离），弓形高h，半径r之间有以下关系： d+h=r, 4.圆心角、弧、弦 圆是中心对称图形 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性 圆心角定义 顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB. 弧、弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 数学语言： ∵∠AOB=∠COD ∴，AB=CD 弧、弦与圆心角关系定理的推论 推论一：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 数学语言： ∵ ∴∠AOB=∠COD，AB=CD 推论二：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． ∵AB=CD ∴∠AOB=∠COD，（优弧或劣弧） 注意：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧. 5.圆周角 圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.即： 圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 圆周角定理的推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接多边形的定义 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形的性质： 圆的内接四边形的对角互补. ∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 素养基础达标 一．选择题（共10小题） 1．如图，是半圆的直径，是的中点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 2．如图，中，为优弧上一个动点（不与，两点重合），，垂足为，是的中点，连接．若的半径为4，则线段的最大值是　　 A．4 B． C．6 D．8 3．如图，中，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．如图，中，弦，相交于点，若，，则等于　　 A． B． C． D． 5．如图，点，，，是上的点，是的直径，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．如图，是半圆的直径，，在半圆上．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：，则该铁球的直径为　　 A． B． C． D． 8．如图，四边形内接于，对角线于点，若的长与的半径相等