27.2.3 相似三角形应用举例 讲义 2022-2023学年人教版九年级数学下册

27.2.3相似三角形应用举例讲义人教版九年级数学下册 层级要求： 掌握 ③测量物体高度的方法及利用相似知识解决实际问题的方法 理解 ②实际问题转化成数学模型的转化思想 知道 ①相似三角形的知识在测量中的应用 基础知识详解 知识点一 利用影长测量物体的高度 内容叙述 测量不能到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形（如同一时刻，物高与影长）来解决。 知识详解 （1）测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． （2）测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （3） 测量数据：人的身高AC与影长BC，旗杆的影长B’C’． （4） 设计原理：相似三角形的对应边成比例，即 优点 缺点 （1）测量简便易行；（2）计算快捷． （1）需要阳光，阴雨天不能进行；（2）要求旗杆的底部可以到达，否则无法测量旗杆影长． 特别提醒 (1)由于太阳在不停地移动，影子的长度也随着太阳的移动而发生变化。因此，度量影子的长一定要在在同一时刻进行，否则就会影响结果的准确性。 （2） 太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看成平行光线。 出题角度1 利用影长测量物体高度（可到达底部） 例1.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（　　） A． 10米 B． 12米 C． 15米 D． 22.5米 解析：解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题。∵=即=，∴楼高=10米． 答案：A 思维点拨： 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解． 针对训练1. 如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米，CA=1米，则树的高度为（　　） 　 A． 3米 B． 4米 C． 4.5米 D． 6米 出题角度2 利用影长测量物体高度（不可到达底部） 例2. 如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度． 分析：列出方 程解答 得出对应 边成比例 找相似 三角形 根据同一时刻物高和影长成正比 解：∵CD∥EF∥AB， ∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴，， 又∵CD=EF，∴， ∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7， ∴，∴BD=9，BF=9+3=12，∴， 思路点拨： 测量底部不可以到达的物体的高度：所谓“底部不可以到达”－－－就是在地面上不可以直接测得测点与被测物体之间的距离。这时往往需要建立几何模型构造相似三角形，利用相似三角形的性质直接求解或列方程求解。 针对训练2.如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小华在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG=4m．如果小华的身高为1.5m，求路灯杆AB的高度． 知识点二 利用相似测量河流、池塘等物体的宽度 内容叙述 测量不能直接到达的两点间的距离时，常常构造相似 三角形，利用相似三角形的性质求解。 知识详解 测量原理：根据公共角相等或对顶角相等构造相似三角形。 测量方法：构造相似三角形（如测河宽）， 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． 测量步骤：（1）利用平行线、标杆等构造相似三角形； （2） 测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任意一组对应边的长度； （3） 画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式； （4） 检验并得出答案。 特别提醒 以前我们曾学过构造全等三角形进行测量的方法。在实际应用中，这种方法虽然能直接通过测量对应边的长得出未知量，但是往往会受到