21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2023-2024学年人教版九年级数学上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 2023/8/17 九年级上册数学 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. （难点） 2. 会运用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 学习目标 知识回顾 写出一元二次方程的一般式： ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2. 一元二次方程求根公式. 系数 两根 一元二次方程: 例1 小桐在一本课外读物中读到如下一段文字： 已知一元二次方程 x2＋ bx＋ c＝0 (其中b、c被墨迹污染了) 的两根是 3 和 5．你能写出这个方程中的 b、c 吗？ 新知探究 新知探究 x1＋x2＝ ，x1x2 ＝ . 观察，猜想（用方程的系数b、c 填空） 例1 小桐在一本课外读物中读到如下一段文字： 已知一元二次方程 x2＋ bx＋ c＝0 (其中b、c被墨迹污染了) 的两根是 3 和 5．你能写出这个方程中的 b、c 吗？ 一元二次方程 两 根 x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 -4 1 2 3 -1 -3 -4 5 6 x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？ (1) 填一填，然后用语言叙述你发现的规律； (2) x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 用式子表示你发现的规律. 根与系数之间的规律. 重要发现 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式. (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 【思考1】 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 (x1，x2为已知数) 两根为 x1 、x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗? 思考2 如果方程二次项系数不为1，对于一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，它的两根之和、积与系数又有怎样的关系呢？ 新知探究 从特殊到一般，探究规律 证一证 由求根公式可知 ↗注：b2 - 4ac≥0 9 ax2 + bx + c = 0 方法2 因式分解法 证明 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 思考2 如果方程二次项系数不为1，对于一般的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，它的两根之和、积与系数又有怎样的关系呢？ 证一证 总结 一元二次方程的根与系数的关系： 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 注意：满足上述关系的前提条件是 b2 - 4ac≥0. (韦达定理) 例 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 – 6x – 15 = 0； 解： a = 1，b = – 6， c = – 15. Δ = b2 - 4ac = ( –6 )2 – 4 × 1 ×(–15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( –6 ) = 6， x1 x2 = -15. 典例精析 【教材P16 例4】 (2) 3x2 + 7x - 9 = 0； 解：a = 3，b = 7，c = -9. Δ = b2 − 4ac = 72 – 4×3×( − 9 ) = 157 > 0， ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = − ， x1 x2 = (3) 5x – 1 = 4x2. 解：方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0. a = 4，b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = . 总结 求两根之和、两根之积的步骤