1.3空间向量及其运算的坐标表示 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3空间向量 及其运算的坐标表示 如图1.3-1，在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}， 以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、 以它们的长为单位长度建立两条数轴:x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系. 平面直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(图1.3-2)， 以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、 z轴，它们都叫做坐标轴， 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 Oxyz，O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量. 空间直角坐标系 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数 (即它的坐标)表示。对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢? 探究 点坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz 中(图1.3-3)，i，j，k 为坐标向量 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使 =xi+yj+zk. 在单位正交基底{i，j，k }下与向量对应的有序实数组 (x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z). 向量坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a，作=a(图1.3-4) 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 a=xi+yj+zk. 有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作 a=(x，y，z) 在空间直角坐标系Oxyz 中，对空间任意一点A，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标 (x，y，z)吗? 探究 例1 如图1.3-6，在长方体OABC-D'A'B'C'中，OA=3,OC=4,OD'=2，以{,,}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz (1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标; (2)写出向量，，，的坐标. 例题 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗? 探究 设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3) 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有: a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)； a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)； λa=(λa1，λa2，λa3),λ∈R； a·b=a1b1+a2b2+a3b3. 尝试证明数量积 运算的坐标表示 常用结论 (1)当b≠0时，a∥b ⟺ a=λb ⟺ a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R）； (2)a⊥b ⟺ a·b=0 ⟺ a1b1+a2b2+a3b3=0； (3)|a|==; (4)cos〈a，b〉== 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗? 探究 如图1.3-7建立空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2两点间距离如何表示？ 例2 如图1.3-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证EF⊥DA1. 例题 例3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1. (1)求AM的长； (2)BE1与DF1所成角的余弦值. 例题 1.已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面； (2)BD∥平面EFGH. 课堂练习 2.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则Pi(i＝1，2，…，8)的不同值的个数为？ 课堂练习 学生回顾思考知识点；教师补充归纳总结 课堂小结 课时作业1.3 布置作业 谢谢！ $$