1.1空间向量及其运算 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1空间向量及其运算 章引言 通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决。在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系.一个自然的想法是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题。在本章，我们就来研究这些问题. 章引言 在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异，在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟向量在研究几何问题中的作用. 显然，这些力不在同一个平面内联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢? 预习新课 与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量(space vector) 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模(modulus)，空间向量用字母a，b，c，...表示。(印刷用黑体a，书写 ) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示. 空间向量的概念 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模。 如图1.1-1，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为||或||. 图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点O的三条楼上的三条有向线段表示的三个向量为，，，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量. 空间向量的表示 零向量、单位向量 与平面向量一样，我们规定： 长度为0的向量叫做零向量(zero vector)，记为. 当有向线段的起点A与终点B重合时，= 模为1的向量叫做单位向量 (unit vector). 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量 (colliner vectors)或平行向量(parallel vectors). 我们规定:零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0//a. 相等向量、相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a. 方向相同且模相等的向量叫做相等向量(equal vectors). 如图1.1-3，已知空间向量a，b，以任意点0为起点，作向量=a，=b，我们就可以把它们平移到同一个平面a内. 自由向量 定义空间向量的加法、减法(图1.1-4)以及数乘运算(图1.1-5): (1)a+b=+=; (2)a-b=-=; (3)λ>0时，λa=λ=； λ<0时，λa=λ=; λ=0时，λa=0. 空间向量的运算 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ，μ∈R): 交换律:a+b=b+a; 结合律:(a+b)+c=a+(b+c)，λ(μa)=(λμ)a; 分配律:(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb. 运算律 尝试独立证明 如图1.1-6，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出++，++表示的向量，从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗?一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系? 探究 对任意两个空间向量a与b，如果a=λb (λ∈R)，a与b有什么位置关系?反过来，a与b有什么位置关系时，a=λb? 探究 平面向量共线定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a//b 的充要条件是： 存在实数λ，使 a=λb. 方向向量 如图1.1-7可知，存在实数λ，使得=λa. 我们把与向量a平行的非零向量称为直线的方向向量 (direction vector) 直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示， 也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 如图1.1-8，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线I平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面a或在平面内，那么称向量a平行于平面a. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanar vectors). 共面向量 思考 我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个空间向量共面呢? 探究 对平面内任意两个不共线向量a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量p可以写成p=xa+yb，其中(x，y)是唯一确定的有序实