第1章 特殊的平行四边形（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（北师大版）

第1章 特殊的平行四边形（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 考点1菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 【例1】（2023•大连）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为 　 　． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝DC，AC⊥BD， ∴∠BEC＝90°， ∵∠DBC＝60°， ∴△BDC是等边三角形， ∴BC＝BD＝10， ∵点F为BC中点， ∴EF＝BC＝5， 故答案为：5． 【变式】（2023•德化县模拟）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB，已知OC＝2，BE＝7． （1）求菱形ABCD的面积； （2）求BD的长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2OC＝4，AB＝BC， 设AB＝x，AE＝x﹣7， ∵CE⊥AB， 由勾股定理可得，AC2﹣AE2＝BC2﹣BE2＝EC2， 即x2﹣72＝42﹣（x﹣7）2， 解得：x＝8或x＝﹣1（舍去）， ∴AB＝8， ∴菱形ABCD的面积＝AB•BE＝8×7＝56； （2）∵菱形ABCD，AB＝8，OA＝OC＝2， ∴BO＝， ∴BD＝4． 考点2菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 【例2】（2023•商南县校级模拟）在▱ABCD中，添加下列条件，能判定▱ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝AC 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故选：C． 【变式1】如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE是菱形． 【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC， ∴四边形DECF是平行四边形， ∵AC＝BC， ∴DE＝DF， ∴四边形DFCE是菱形； 【变式2】如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证： （1）∠E＝∠F； （2）四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BP∥DF， ∵EF∥BD， ∴四边形BPFD是平行四边形， ∴BP∥DF， ∴∠F＝∠BPE， ∵BE＝BP， ∴∠E＝∠BPE， ∴∠E＝∠F； （2）∵EF∥BD， ∴∠E＝∠ABD，∠F＝∠ADB ∴∠ABD＝∠ADB， 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 【变式3】（2023•栖霞区校级三模）如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点． （1）求证：△ABF≌△CDE； （2）若∠AFC＝2∠D，求证：四边形AFCE是菱形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D． ∵E、F分别是AD、BC的中点， ∴DE＝AE＝AD，BF＝CF＝BC， ∴BF＝DE， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）； （2）∵△ABF≌△CDE（SAS）， ∴AF＝CE． 又∵CF＝AE， ∴四边形AFCE是平行四边形． ∵∠AFC＝2∠D，∠B＝∠D． ∴∠AFC＝2∠B， ∵∠AFC＝∠B+∠BAF， ∴∠B＝∠BAF， ∴AF＝BF， ∵F分别是BC的中点， ∴CF＝BF， ∴AF＝FC， ∴四边形AFCE是菱形． 考点3菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的