2023年中国数学奥林匹克国家集训队第二轮选拔考试试题

2023年国家集训队第二轮选拔考试试题解析 I.试题 13.是否存在正无理数x,使得至多存在有限个正整数n,满足对任意整数 1≤k≤n,都有{kx}之本？ 14.对非空有限实数集B和实数x,定义 ds(a)=z-外. (1)给定正整数m.求最小的实数入，使得对任意正整数和任意实数 x1,x2,·,En∈0,1，都存在m元实数集B,满足 dB(x1）+dB(x2)+·+dB(xn)≤λn. (2)设m是正整数，e是正实数.求证：存在正整数n和非负实数x1,a2,·,T, 满足对任意m元实数集B,都有 dB(x1)+dB(x2）+…+ds(xn）>(1-e)(x1+x2+…+xn). 15.对凸四边形ABCD,称其内部一点P为平衡的，如果： (1)P不在AC,BD上 (2)设AP,BP,CP,DP分别交ABCD的边界于点A,B,C,D,则 AP.PA'=BP.PB'=CP.PC=DP.PD'. 求平衡点数目的最大可能值 修订日期：2023-05-26. 16.如图，圆「，「，「2两两外切，且均与直线1相切.设「，「1切于点B, 「，「2切于点B2,「1，「2切于点C.「，「1，「2分别与1切于点A,A1,A2,其中A在 线段A1A2上.设直线A1C,A2B2交于点D1,直线A2C,A1B1交于点D2·求证： D1D2∥l. 17.是否存在两两不同的整数a1,a2,·,同时满足 (1)对任意正整数k,a2>0且ak2+k<0 (2)对任意正整数n,an+1-am≤2023V元 18.求最大的实数入，使得对任意一个100阶双随机矩阵，总可以从中选出 150个元素，并将其余9850个元素都改为0，满足此时每行元素之和与每列元素之 和都不小于入： 注：一个n阶双随机矩阵是一个n×n的方阵，所有元素均为非负实数，且每 行元素之和与每列元素之和均为1. 19.设A,B是单位圆w上的两个定点，满足V2<AB<2.P是w上的一个 动点，满足△ABP是锐角三角形且AP>AB>BP.设△ABP的垂心为H,S 是劣弧AP上的一点，满足SH=AH.T是劣弧AB上的一点，满足TB∥AP 设直线ST,BP交于点Q,求证：以HQ为直径的圆经过一个定点 20.设整数a,b,d满足al≥2，d≥0，b≥(a+1)+1,设f(x)是次数为d的 实系数多项式，对每个正整数n,用rn表示[f(n)a模b的余数.求证：若{rn}最 终周期，则(x)的系数都是有理数 21.给定整数n≥2.求最小的实数入，使得对任意实数a1,2,·,an及b,均 有 a-M+空a三 22.求所有的函数f:Z→Z,使得对任意整数a,b,c,均有 2f(a2+b2+c2)-2f(ab+bc+c)=f(a-b)2+f(b-c)2+f(c-a)2 2 23.设p是质数，实数入∈(0,1，正整数s≤t<告.S,T分别是由8，t个连 续正整数构成的集合，满足 |{(x,)∈S×T|x≡y(modp)}H≥1+λs 求证：存在整数a,b,满足1≤a≤是，≤点，且ka三b(modp以. 24.设n是正整数.初始时，一个2m×2n的方格表中有k个黑格，其余为白 格.允许进行如下两种操作： (1)若一个2×2正方形中恰有3个黑格，则可以将第4个也变为格： (2)若一个2×2正方形中恰有2个黑格，则可以将其中的黑格变为白格、白 格变为黑格 求最小的正整数k,使得有限次操作后所有格都是黑格. Ⅱ.解答与评注 13.是否存在正无理数x,使得至多存在有限个正整数，满足对任意整数 1≤k≤n,都有{}≥本？ 解不存在 考虑数列{x},{2x},…中，称某项{kx}是极小的，如果它比前面的项都小（由 于x是无理数，这些项两两不同) 设数列中所有极小的项{ax},i=1,2,…,其中a1<a2<….注意{nx} (n∈Z+)在(0,1)上稠密，所以极小项有无穷多个. 任取i≥2.我们来说明n=a:-1满足题目中的要求， 由于极小项的定义，只需说明{a-1x}≥ 考虑 {a-1ax}≤a-1{ax}<a4-1{a-1x}<a:{a;-1x} 结合a:∈Z就说明{a:-1x}≥.于是满足题目要求的n必定无穷多个. ▣ 评注本题是一道较为简单的关于小数部分的题目.本题做法多样，但都需要 取出数列的极小项，并且这里给出的证明是最筒单的一个.尽管解答如此简短，不 过存在与不存在之间的“循环”也卡住了部分同学， 14.对非空有限实数集B和实数x,定义 ds(x）=ninx-b DER (1)给定正整数m.求最小的实数入，使得对任意正整数n和任意实数 3 x1,2,·,xn∈0,1，都存在m元实数集B,满足 dB(x1)+dB(x2)+·+dB(xn)≤λn (②)设m是正整数，e是正实数，求证：存在正整数n和非负实数1,2，·，xm