27.2.2相似三角形的性质讲义2022-2023学年人教版九年级数学下册

27.2.2相似三角形的性质讲义人教版九年级数学下册 层级要求： 掌握 ③相似三角形的周长之比、面积之比与相似比的关系，并能用来解决简单的实际问题 理解 ②相似三角形及相似多边形的性质 知道 ①相似三角形及相似多边形对应线段的比与相似比的关系 基础知识详解 知识点一 相似三角形的性质 内容 叙述 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 知识 详解 如图所示，若△ABC∽，它们的相似比是k，且AD⊥BC于点D，于点，则. 如图所示，若△ABC∽，它们的相似比是k，且D、分别为BC、的中点，. 如图所示，若△ABC∽，它们的相似比是k，且AD、分别是的平分线，. 特别 提醒 （1） 在应用此性质时，要注意找准对应线段； （2） 相似比是有顺序的，不要颠倒相似三角形中对应元素的顺序。 出题角度1 根据相似三角形的性质计算边长 例1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上的一点，AE交BD于O，△AOB∽△EOD，若DE=AB，AB=9，AO=6，求DE和AE的长． 分析：由△AOB∽△EOD，DE=AB，AB=9，AO=6，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE与OE的长，继而求得AE的长． 解：∵△AOB∽△EOD，∴DE：AB=OA：OE， ∵DE=AB，AB=9，AO=6，∴DE=×9=6，OE=OA=4，∴AE=OA+OE=6+4=10． 思想方法：本题运用数形结合思想解决问题，根据已知条件结合平行四边形这个“形”，得△AOB∽△EOD ，然后根据相似三角形的对应边成比例即可得出答案。 针对训练1．如图D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，△ABC∽△ADE．已知AD：DB=1：2，BC=18cm，求DE的长． 出题角度2 相似三角形对应线段的比与相似比 例2.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm． 根据相似三角形对应高的比等于相似比 分析： 进行计算即可得解 列出比例式 表示出AI的长度 设正方形的边长为x 解：设正方形的边长为xmm，则AI=AD-x=80-x， ∵EFHG是正方形，∴EF∥GH，∴△AEF∽△ABC， ∴，即，解得x=48mm， 所以，这个正方形零件的边长是48mm． 思维点拨： 主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出AI的长度，然后列出比例式是解题的关键． 针对训练2.如图，△ABC∽△A′BC′，AD、A′D′分别是这两个三角形的高，EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线，与相等吗？为什么？ 知识点二 相似三角形的周长、面积之比与相似比的关系 内容 叙述 （1） 相似三角形的周长的比等于相似比； （2） 相似三角形的面积等于相似比的平方。 知识 详解 如图所示，若△ABC∽，它们的相似比是k，则 如图所示，若△ABC∽，它们的相似比是k，则 特别 提醒 （1）周长的比的相似比，面积的比是相似比的平方，不要与周长的比混淆；在应用相似比求面积比时，面积比等于相似比的平方；反之在由面积比求相似比时，相似比等于面积比的算术平方根； （2）“高、中线、角平分线”必须是对应边上的高、中线、角平分线。三角形的面积比是相似比的平方；等（同）高的三角形面积之比等于底之比；等（同）底的三角形面积之比等于高之比。两者不要弄混淆。 出题角度1 运用相似三角形的周长之比与相似比的关系解题 例3.已知△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若△ABC和△DEF的周长分别为24、36，又∵BC=8，则下列判断正确的（　　） A．DE=12 B．EF=12 C．DE=18 D．EF=18 解析：∵△ABC和△DEF的周长分别为24、36，∴△ABC和△DEF的相似比为，∴， ∵BC=8，∴，解得EF=12，∵AB的边长不知道，∴DE的长度无法求出． 答案：B 思维点拨： 由于相似三角形周长的比等于相似比的性质，知道两个相似三角形的周长，实质上等于知道了这两个相似三角形的相似比，再根据相似三角形对应边成比例的性质，找准对应边即可得出答案． 针对训练3. 已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC的边长分别为3，4，5，△A′B′C′中最小的边长为7，求△A′B′C′