第21章一元二次方程（压轴必刷30题7种题型专项训练）-2023-2024学年九年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

第21章一元二次方程（压轴必刷30题7种题型专项训练） 一．解一元二次方程-配方法（共1小题） 1．（2022秋•仙桃校级月考）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+4）＝6． 解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6． （x+2）2﹣22＝6， （x+2）2＝6+22， （x+2）2＝10． 直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5． （x+a）2﹣b2＝5， （x+a）2＝5+b2． 直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d． 上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为　 　，　 　，　 　，　 　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6． 二．解一元二次方程-因式分解法（共1小题） 2．（2021秋•高安市校级月考）阅读下面的例题： 解方程：x2﹣|x|﹣2＝0 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2 ∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2． 请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是　 　． 三．换元法解一元二次方程（共1小题） 3．（2021秋•高州市月考）先阅读，再解题 解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0，可以将（x﹣1）看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1；y2＝4，当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2，当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所 原方程的解为x1＝2，x2＝5 请利用上述这种方法解方程：（3x﹣5）2﹣4（5﹣3x）+3＝0． 四．根的判别式（共4小题） 4．（2022秋•宝应县校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 5．（2022春•雷州市月考）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 6．（2022秋•罗山县校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 7．（2022秋•仪陇县月考）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长． 五．根与系数的关系（共5小题） 8．（2021春•拱墅区月考）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有　 　（填序号） ①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程； ②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0； ③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程； ④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac． 9．（2021秋•冷水滩区校级月考）如果方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知a、b是方程x2+15x+5＝0的二根，则＝　 　 （2）已知a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝16，求正数c的最小值． （3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于x，y的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数k，使得y1y2﹣＝2？若存在，求出的k值，若不存在，请说明理由． 10．（2021春•崇川区校级月考）已知关于x的一元二次方程， （1）求证：不论k取何值，方程