第1章一元二次方程（压轴必刷30题7种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（苏科版）

第1章一元二次方程（压轴必刷30题7种题型专项训练） 一．一元二次方程的解（共1小题） 1．（2020秋•句容市月考）阅读下列材料： （1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，， （2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）． 根据以上材料，解答下列问题： （1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝　 　，＝　 　，＝　 　； （2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值． 二．解一元二次方程-配方法（共1小题） 2．（2022秋•玄武区校级月考）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+4）＝6． 解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6． （x+2）2﹣22＝6， （x+2）2＝6+22， （x+2）2＝10． 直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5． （x+a）2﹣b2＝5， （x+a）2＝5+b2． 直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d． 上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为　 　，　 　，　 　，　 　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6． 三．根的判别式（共4小题） 3．（2021秋•盱眙县校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 4．（2021秋•张家港市校级月考）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0． （1）求证：这个方程总有两个实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长． 5．（2021秋•玄武区校级月考）关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）＝0（k≠0）． （1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）要使得方程的两个实数根都是整数，求整数k可能取值． 6．（2022秋•玄武区校级月考）已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k＝0与x2+mx﹣1＝0有一个相同的根，求此时m的值． 四．根与系数的关系（共1小题） 7．（2021春•崇川区校级月考）已知关于x的一元二次方程， （1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，求k的值． 五．一元二次方程的应用（共21小题） 8．（2020•赫山区校级自主招生）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S． （1）求出S关于t的函数关系式； （2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？ （3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论． 9．（2012•黔西南州）请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以x＝． 把x＝代入已知方程，得（）2+﹣1＝0 化简，得y2+2y﹣4＝0 故所求方程为y2+2y﹣4＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　； （2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 10．（2021秋•江都区校级月考）已知：▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？ 11．（2020秋•南京月考）某批发商以每件50元的价格购进80