推广2023年高考数学乙卷导数压轴的八种方式 讲义——2024届高三数学一轮复习微专题

推广23年乙卷导数压轴的八种方式 1.图像交点个数与转化 2.复合方程与函数作图 3.函数的对称性与零点问题 4.不动点问题 5.保值区间 6.过点求切线 7.公切线问题 8.极值点个数 夹例(223年乙希21喝).已知函数f)-+ah+。 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x在点1，f1)处的切线方程： (2)是香存在a,b,使得曲线y=f天 关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若 不存在，说明理由. (3)若f(x在(0，+oo）存在极值，求a的取值范围. 推广1.图像交点个数与零点转化 例1.已知a>0且a≠1，函数f(x)=(x>0) (1)当a=2时，求fx的单调区间； (2)若曲线y=f(x与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围. 1/13 推广2.复合方程与函数作图 一，基本原理： f(x),x≥a 1.已知f(x)= f(x),x<a 且2+bt+c=0的两个具体的根，求f(x)+时(x)+c=0 根的个数，或者根据解的个数求参数范用。 解法剂析：换元，最终转化为1=f(x)根的个数，这类问题由于一元二次方程的根最终可 以求解，所以实际就转化成函数作图后找到交点个数，或者根据交点个数求参数即可 2.已知函数f(x)= f(x).x2a ,且知一元二次型方程f(x)+bf(x)+c=0根的个数， (x),x<a 求参数的取值范围。 解法剖析：换元，最终转化为一元二次方程根的分布. 3.一元二次方程根的分布 对一元二次方程ar2+bx+c=0(其中a≠0)和二次函数f(x)=ax2+bx+c=0,有： [△≥0 (1)方程f(x)=0的2个根都比k小的充要条件是 b∠k, 2a af(k)>0. △≥0， (2)方程f(x)=0的2个根都比k大的充要条件是 k, 2a af(k)>0. af(m)>0, af(n)<0, (3)方程f(x)=0的一根都在(m,m)内，另一根在(P,q)内的充要条件是 af(p)<0, af(q)>0. △≥0， af(m)≥0， (4)方程f(x)=0的2个根都在[m,川内的充要条件是{a(m)≥0， ms-b ≤n. (5)方程f(x)=0的一根比k大，一根比k大，一根比k小的充要条件是f(k)<0. 2/13 (6)方程f(x)=0的2个根都在m,n外，且一根比m小，另一根比n大的充要条件是 af(m)<0, af(n)<0. 4.求解复合函数y=g[f(x)]零点间题的技巧： (1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出f(x),g(x)的图像 (2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f(x)的方程g[f(x)]=0中f(x)解的个 数，再根据个数与f(x)的图像特点，分配每个函数值∫(x)被几个x所对应，从而确定∫(x) 的取值范围，进而决定参数的范围 二.典例分析 ,x>0 例1.函数f(x)= ,方程2(x-f(x=0有6个不同的实根，则实数t的取值 -x-4x,x0 范围为() A.e<1<4 B.1>4 C.t<e D.e≤t≤4 例2.已知函数f(x)=x2e,关于x的方程[f(x)+f(x)-1=0有三个不相等的实数根，则 1的取值范围是() 3/13 推广3.函数的对称性与零点问题 一.基本原理 1点关于点对称：点(a,b)关于(m,n)对称的点坐标为(2m-a,2n-b), 2.点关于线对称 一般地，若点P(x,y)关于直线：Ax+By+C=0对称的点为P'(x,y2),可连接PP'交 I于M点，则I垂直平分PP',所以PP'⊥I,且M为PP'的中点，又因为M在直线I上， k:kpp:=-1, 可得 A5+五+B当+业+C=0. 2 2 进一步，我们可以通过上式算得：点(a,b)关于直线Ax+By+C=0对称的点的坐标可计 算为(a 2A(Aa+Bb+C) .b2B(Aa+Bb+C) A2+B2 A2+B2 特别地： (1)点(a,b)关于直线y对称的点为(-a,b) (2)点(a,b)关于直线x对称的点为(a,-b) (3)点(a,b)关于直线y=x对称的点为(b,a) 3.函数图象上点的对称性 性质1.轴对称：函数图象关于一条垂直于x轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点 (x,f(x),(x2,f(x2)》到直线x=a的距离相等且函数值f(x)=f(x2)时.我们就称函 数y=f(x)关于x=a对称. 代数表示：(1).f(a+x)=f(a-x)(2).f(x)=f(2a-x) 即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时，则函数图像都关于直线x=α对称， 一般地，若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线 x=0+b 2 对称 特别地，偶函数（关于y轴对称），f(x)=∫(-x