处理双极值点函数最值问题的五种途径 讲义——2023届高三数学二轮专题复习

处理双极值点函数最值问题的五种途径 一。基本原理 1.题型特征 己知x,x,为函数y=(x)的两个极值点，双极值点函数最值问题的基本趣设有以下特征： (1)求f(x)±f(x2)的取值范围： (2求色)±的取值范围， X1-X2 (3)求f(x,)±，(，j∈L,2)的取值范围： 当然还有可能围绕这两个极值点构造一些其他类型的目标结构，但只要能够辨识出是双极 值点问题，其处理通法是一致的. 2.基本解题策略 (1)求出y=f(x)存在两个极值点的参数范围： (2)利用∫(x)=0找到两个极值点之间满足的关系，通常是韦达定理得到： (3)利用(2)对月标结构整理化简，通常有以下四个化简策略： ①.消元，构建单个极值点x或飞的函数 ②.消元，构建有关参数a的函数 ③.构造齐次式进行化一 ④.对数均值不等式 ⑤.极值点之比与比值代换 下而我们通过具体例子米进行分析 二.典例分析 1.消元，构建单个极值点x或x的函数 例1.(2018全国1卷)已知函数fx)=-x+alnx. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f)存在两个极值点无，x,证明：)-f<a-2. x1-x2 1/11 解析：(2)由(1)知，fx)存在两个极值点当且仅当a>2. 由于f(x)的两个极值点x,x2满足x2-ax+1=0,所以xx2=1,不妨设x<x2,则 x2>1.由于 ()-f(x=-1-1+almk-Ink=-2+ Inx-lnx2 =-2+a- -2Inx2 x1-x2 X1-x2 X1-x2 1 -x2 X2 所以-f儿玉l<a-2等价于-5+2n5,<0. x1-x3 设函数gx=二-x+2lnr,由(1)知，gx)在(0，+∞)单调递减，又g1)=0,从而 当xe山，+o时，g<0,所以片-5+2l,<0,即）-f<a-2. x. x-x2 练习1.已知函数fw)=x2-k在+nx 2 (1)讨论函数f(x的单调性： ®有两个极监点，蓬明)小兮： 解析：(1)综上可知，当k≤2时，函数在0，+0)上单谓递增，当k>2时，函数在 t-t-i k-k2-4 k+k2-4 上单调递减 2 单调递增，在 2 2 (2)证明：由(1)可知，要使f(x有两个极值点x,x,则k>2, 此时满足x+x=k,x高=1，不妨设x<x,此时有∫(x)>∫x2), 从面原不等式转化为：f八-=-到+(-x)+n无-n< 2 将及=入有：到引传*j儿任-2 化简即得：2nx-x<-1,即证1nx2<x-1,由xx2=1>x,可得x<1,令 1=n<-(0<1<,设g)=n1-1-1(0<1<1,则g'=-'>0, 故gt)在1∈(0，)上单调递增，g(<g=0,故原不等式成立 2/11 2.整体消元，构建有关参数a的函数 例2.己知函数f(x)=ax2+(2a-1)x+1n(x+l)有两个极值点x,x2, (1)求a的取值范围： (2)证明：f)+fk)<2n2- 解折：(1)：f(x)=2ax+2a-1+1=2a(x+2-x+)+1. x+1 x+1 △=1-8a>0 ∴.y=2at2-1+1有两个不等正根x+1,x3+1,1 >0 4a 解得0<a<8 @已知释+1名+1=。G+长+小名=， f(x)+f(x=ax2+)+(2a-10x+x)+n[(x+1(x2+1], =a[+P-2]+ea-品-2-n2a, -小-名a2-hao右a-hai 令2a=1,则0<1<，>4，g0=--1-1n1+1, 80=立10非-八0，“80是带函或 g()<g =2-+2n2+1=2h2-ms+f<2h2- 4 练习2.已知函数f(x=ln-ar2+x,a>0. (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f)在定义域内有两个极值点x,x,求证：f(x)+f(x)>3-2ln2. 解析：（1)由圈意得：的定义域为0，+o,/=-！-2ar+1=2ar+x=>0, 令g(x)=-2ax2+x-1(a>0),4=1-8a, 3/11 当4=1-8a0,即a。时，g)0恒成立， 8 即：f"(x)0,f(x)在(0，+∞)上单渊递减， 当4=1-8a>0,即0<a<g时， 令g=0,解得：5=-1+1-8a1--8a, 1+V1-8a -4a 4a 4a 当xe(0,xU(x,+0时，g(x)<0,即f"(x)<0;当x∈(x,x)时，g(x)>0,即f"(x)>0, f在0,1-，++m)上单调递减：在-面1+a 上单调递 4a 4a 4a 增， 2):在定义城上有两个极值点x由1)0<a<日且6是方程-2ar2+-1=0 的两个不等实装，期后方无亡 f)+f,)=ln-ar+x+n-ax+5=n-a+x广-2x1+G+x） xx2 =ha-证六-o+1,段o=n2o+七l,则a-