27.2.1.1相似三角形和平行线分线段成比例讲义2022-2023学年人教版九年级数学下册

27.2.1.1相似三角形和平行线分线段成比例讲义人教版九年级数学下册 层级要求： 掌握 ③ 平行线分线段成比例的基本事实及其推论的应用，理解其实用价值 理解 ②平行线分线段成比例的基本事实及其推论 知道 ①相似三角形的定义及其性质 基础知识详解 知识点一 相似三角形的定义与性质 内容 叙述 定义：如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，我们就称这两个三角形相似。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。 数学表达式： △ABC∽△ 性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 ·图示 ·特例 判定两个三角形相似的必备条件： 三个角分别相等，三条边成比例。 知识 详解 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一有∽． (2)对称性：若∽，则∽． (3)传递性：若∽，且∽，则∽． 特别 提醒 (1)对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． (2)顺序性：相似比是有顺序的，比如△ABC∽△A1B1C1，相似比为k,若△A1B1C1∽△ABC，则相似比为。(3)两个相似三角形形状一样，但大小不一定一样． (4)若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等． 出题角度1 相似三角形的定义及表示方法 例1.如图，在△ABC中，DE∥BC， (1) 求的值； （2） △ADE与△ABC相似吗？ 为什么？ 分析：（1）直接利用线段的长度求出它们的比值；①三条边成比例 （2） 抓住相似三角形定义中两个条件判断：②三个角分别相等 解：（1）由图形可知AB=30，AC=36. 所以。 （2） △ADE与△ABC相似。 理由：因为DE∥BC，所以，。 由第（1）小题可知，又，。 所以△ADE∽△ABC . 思维点拨：由于三角形是最简单的多边形，因此判定两个三角形相似可以根据判定两个多边形相似的方法，即利用相似三角形的定义可以证出三个角相等，三条边成比例即可。 针对训练1. 在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC；在等腰直角三角形中，∠=90°，，请判断这两个等腰直角三角形相似相似吗？ 出题角度2 逆用相似三角形的定义求相似比 例2. 如图，已知△AOC∽△BOD，且OA=6,AC=4，OB=3,。 求：（1）△AOC与△BOD的相似比； （2） BD的长。 分析：（1）由△AOC∽△BOD及，可找出两个三角形的对应边，即可求出相似比；（2）根据相似三角形对应边的比相等，可以列出比例式求出BD的长。 解：（1）∵△AOC∽△BOD，， ∴线段OA与线段OB是对应边，则△AOC与△BOD的相似比为 （2）∵△AOC∽△BOD，∴ 思维点拨：相似三角形的定义具有双重性，即：如果两个三角形的三个角分别相等且三条边成比例，则这两个三角形相似；反之如果两个三角形相似，则它们的三个角分别相等，且对应边的比相等。因此相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法。警示：求相似比时，不要忽视相似比的顺序性。 针对训练2.已知△ABC∽△DEF， AB=7，BC=3，EF=4，则△ABC与△DEF的相似比为　 　． 出题角度3 用相似三角形的性质求边长 例3.已知△ABC的三边长分别为4、6、8，与它相似的△DEF的最短边长为6，则△DEF的最长边的长为（　　） A． 8 B． 12 C． 10 D． 9 解析： 根据△ABC∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得4：6=8：x，则可求得最长边的边长． ∵△ABC的三边长分别为4、6、8，与它相似的△DEF的最短边长为6，∴4：6=8：x，解得：x=12， 则△DEF的最长边的长为12． 答案：B 思维点拨：解题的关键是注意相似三角形的对应边成比例定理的应用． 针对训练3.已知△ABC的三边之比为2：3：4，若△DEF与△ABC相似，且△DEF的最大边长为20，则△DEF的周长为　 　． 知识点二 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 内容 叙述 平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 数学表达式：如右图， ∵∥∥， ∴ ·图示 ·特例 可简记为： 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 数学表达式：如右图，∵DE∥BC， ∴ 知识 详解 (1) 一组平行