4.2.2 等差数列的前n项和公式课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

学习目标 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系以及等差数列的前n项和公式与二次函数的关系. 2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的计算问题. 3.会利用等差数列的通项公式与前n项和公式研究Sn的最值. 4.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的实际问题. 5.掌握等差数列前n项和的性质并能正确应用. 4.2.2 等差数列的前n项和公式 探索新知 倒 序 相 加 法 求 和 等差数列的前n项和公式 例题剖析 课堂小练 课堂小结 ——你学到了那些新知识呢？ 本节课学习了等差数列的前n项和公式及其应用. 对于数列，设， 当n是偶数时，有， 于是有 . 当n是奇数时，有 . 所以，对任意正整数n，都有. 对公式作变形， 可得， 可以得到，， 两式相加得 所以. 可以发现，上述方法将“倒序”为， 再将两式相加，得到n个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和 转化为n个相同的数求和. 对于等差数列，因为， 由上述方法，用两种方式表示： ①，②. ①+②，得 由此得到等差数列的前n项和公式. 如果已知首项和公差，也可以用和来表示. 把等差数列的通项公式代入， 可得. 例1 已知数列是等差数列. （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若，，，求n. 解：（1）因为，， 根据公式，可得. （2）因为，，所以. 根据公式，可得. （3）把，，代入， 得. 整理，得，解得或（舍去）. 所以. 例2 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 解：由题意知，. 代入，得，解得. 所以由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 例3 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位， 从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位. 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列， 构成数列，其前n项和为. 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且. 由，可得， 因此，第1排应安排21个座位. 例4 已知等差数列的前n项和为，若，公差，则 是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存 在，请说明理由. 解法1：由，得，所以是递减数列. 又由，可知： 当时，；当时，；当时，. 所以. 也就是说，当或6时，最大. 因为，所以的最大值为30. 解法2：因为， 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30. 1.已知等差数列的前n项和为，若，，则该数列 的公差为( ) A. B.2 C. D.3 答案：B 解析：设等差数列的公差为d，由，， 解得，故选B. 2.设等差数列的前n项和为，若，是方程的两根， 则( ) A.8 B.52 C.45 D.72 答案：B 解析：由一元二次方程根与系数的关系，可得， 则，故选B. 3.已知等差数列的前n项和为，，则( ) A.3 B.6 C.9 D.12 答案：B 解析：设等差数列的公差为d，， ，.故选B. 4.记为等差数列的前n项和，已知，，则( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：设等差数列的公差为d，由题知，解得， ，故选A. 5.设等差数列的前n项和为，若，，则当取 得最小值时，( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案：A 解析：设等差数列的公差为d，则由题意，知，解得， 则，所以当时，取得最小值，故选A. 6.已知等差数列的前n项和为，若，，则k的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案：B 解析：∵等差数列的前n项和可看作是关于n的二次函数 且，对称轴方程为，又，，解得. 7.在等差数列中，公差，，前m项和，则( ) A.5或7 B.3或5 C.7或-1 D.3或-1 答案：D 解析：，所以①. ， 所以②. 由①②得或.故选D. 8.等差数列的前n项和为，若，，则为( ) A.84 B.108 C.144 D.156 答案：B 解析：由等差数列前n项和的性质可知，，成等差数列. 又，，由等差中项的性质可知，，，故选B. 9.已知数列是等差数列.若，，且数列的前n项和 有最大值，则取得最大正值时n等于( ) A.20 B.17 C.19 D.21 答案：C 解析：由题可得，又且有最大值， 可得，，则有， 而，进而可得取得最大正值时n等于19. 10.记为等差数列的前n项和.若，，则______. 答案：25 解析：设等差数列的公差为d，则，解得， 所以. 11.设等差数列的前n项和为，若，，， 则_________. 答案：15 解析：因为，所以， 又，所以. 12.设数列的前n项和为，点均在函数的图像上， 则