4.3.1等比数列的概念课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义，了解等比中项的概念. 2.掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题. 3.体会等比数列与指数函数的关系. 4.通过等比数列的概念、通项公式认识等比数列的性质，能够运用等比数列的性质解决有关问题. 4.3.1 等比数列的概念 探索新知 1.等比数列的概念 2.等比中项 3.等比数列的通项公式 4.等比数列与指数函数的关系 例题剖析 应用等比数列通项公式解实际应用问题的步骤 课堂小练 课堂小结 ——你学到了那些新知识呢？ 本节课学习了等比数列的概念、等比中项、等比数列的通项公式、等比数列的性质及其应用. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）. 若在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 则G叫做a与b的等比中项. 此时，. 设一个等比数列的公比为q， 根据等比数列的定义可得. 所以，，，…… 由此可得， 又，即当时上式也成立. 因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为. 由可知，当且时， 等比数列的第n项是指数函数 当x = n时的函数值， 即，如图所示. 反之，任给指数函数 （k，a为常数，，，且）， 则，，…，，… 构成一个等比数列，其首项为ka，公比为a. 例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 解法1：由，，得， ②的两边分别除以①的两边，得，解得. 把代入①，得.此时， 把代入①，得.此时. 因此，的第5项是24或-24. 解法2：因为是与的等比中项，所以. 所以. 因此，的第5项是24或-24. 例2 已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示. 解：由题意得①，②， ②的两边分别除以①的两边，得， 所以. 例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项 等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132. 求这个数列. 解：设前三项的公比为，后三项的公差为， 则数列的各项依次为，，80，，. 于是得， 解方程组，得或. 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48. 例4 用10000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的 利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息， 所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a， ，，…构成等比数列. 解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列， 则是等比数列，首项，公比， 所以. 所以12个月后的利息为（元）. （2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列， 则也是一个等比数列，首项，公比为1+r. 于是. 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为元. 解不等式，得. 所以当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 例5 已知数列的首项. (1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； (2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列. 证明：（1）由，，得的通项公式为. 设，则. 又， 所以是以27为首项，9为公比的等比数列. (2)由，，得. 两边取以3为底的对数，得. 所以. 又， 所以是首项为1，公差为-2的等差数列. 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%，从今年1月 开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率 生产．以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加 0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，， 则各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列， 是等差数列，由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列 表观察规律，再寻求问题的解决方法. 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，. 由题意知，， ，其中， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 ， 由计算工具计算（精确到0.1）并列表如下. n 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0