5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

学习目标： 1. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值； 3. 体会导数与单调性、极值的关系. 教学重点： 求函数极值. 教学难点： 函数极值与导数的关系. 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 第一课时 想一想 图（1） 探究 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性 质. 思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 练一练 B A 练一练 C 练一练 练一练 () 练一练 练一练 练一练 练一练 课堂小结 ——你学到了那些新知识呢？ 函数极值的概念及求极值的方法. 观察图（1），当 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数 在此 点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化 规律？ 放大 附近函数 的图象，如图（2）.可以看出， ；在 的附近， 当 时，函数 单调递增， ；当 时，函数 单调递减， . 这就是说，在 附近，函数值先增（当 时， ）后减（当 时， ）.这样，当t在a的附近从小到大经过a时， 先正后负，且 连续变化， 于是有 . 如图，函数 在 等点的函数值与这些 点附近的函数值有什么关系？ 在这些点的导数值是多少？ 在这些点附近， 的导数的正负性有什么规律？ 以 两点为例，可以发现，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 .类似地，函数 在点 的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大， ；而 且在点 附近的左侧 ，右侧 . 我们把a叫做函数 的极小值点， 叫做函数 的 极小值；b叫做函数 的极大值点， 叫做函数 的极 大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 例1 求函数 的极值. 解：因为 ，所以 . 令 ，解得 或 . 当x变化时， ， 的变化情况如表所示. x 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 解：因此，当 时， 有极大值，并且极大值为 ； 当 时， 有极小值，并且极小值为 . 导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数 ， 我们有 .虽然 ，但由于无论 ，还是 ，恒有 ，即函数 是增函数，所以0不是函数 的极 值点.一般地，函数 在一点的导数值为0是函数 在这 点取极值的必要条件，而非充分条件. 一般地，可按如下方法求函数 的极值： 解方程 ，当 时： （1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是 极大值； （2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是 极小值. 1. 函数 的极值点为( ) A.0，1，-1 B. C. D. ， 解析：由已知，得 的定义域为 ， . 令 ，得 （ 舍去）. 当 时， ；当 时， .所以当 时， 取得极小值. 故 的极小值点为 ，无极大值点，故选B. 2. 函数 在 上( ) A.有极小值 B.有极大值 C.既有极小值又有极大值 D.无极值 解析： ，由 ，得 .由 ，得 . 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 在 上有极小值 ，无极大值.故选A. 3. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 有( ) A.两个极大值，一个极小值 B.两个极大值，无极小值 C.一个极大值，一个极小值 D.一个极大值，两个极小值 解析：由图可知导函数 有三个零点，依次设为 ， 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 处取得极小值； 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 处无极值； 当 时， ，所以函数 在 处取得极大值，故选C. 4. 已知函数 在区间 上存在极值，则实数a的取值范围 是_______________. 解析： ，令 ，得 ， 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 所以 是函数 的极大值点. 又函数 在区间 上存在极值，所以 ，解得 ， 即实数a的取值范围是 . 5. 求下列函数的极值： （1） ； （2） . 解析：（1） . 令 ，解得 ， . 当x变化时， ， 的变化情况如下表： x -2 2 - 0 + 0 - 单调递减 -10 单调递增 22 单调递减 由上表看出，当 时， 取得极小值，为 ； 当 时， 取得极大值，为 . 解析：（2） . 令 ，解得 ， . 当x变化时， ， 的变化情况如下表： x -1 1 - 0 + 0 - 单调递减 -3 单调递增 -1 单调递减 由上表看出，当 时， 取得极小值，为 ； 当