1.3 正方形的性质与判定 培优练习 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

1.3 正方形的性质与判定 培优练习 一、选择题 1.如图，四边形是正方形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在正方形中，点在的延长线上，且，将绕点按逆时针方向旋转，则点的对应点是(    ) A. 的中点 B. 的中点 C. 的中点 D. 对角线交点 3.如图，边长为的正方形纸片上画有正方形Ⅰ和Ⅱ如果正方形Ⅰ的边长为，那么正方形Ⅱ的周长为(    ) A. B. C. D. 4. 如图，平面直角坐标系的原点是正方形的中心，顶点，的坐标分别为、，把正方形绕原点逆时针旋转得到正方形，则正方形与正方形重叠部分形成的正八边形的边长为(    ) A. B. C. D. 5．小明同学为班级设计如图所示的班徽，为正方形的中心，四块全等的阴影图形均为菱形．若，，三点共线，则图中阴影面积与空白面积之比为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，，于点E，则的长为（　　）    A．4 B．5 C． D． 7.如图，在中，点，，分别是，，的中点，则下列四个判断中不一定正确的是(    ) A. 四边形一定是平行四边形 B. 若，则四边形是矩形 C. 若四边形是菱形，则是等边三角形 D. 若四边形是正方形，则是等腰直角三角形 8.如图，▱的对角线、相交于点，给出四个条件：；；；从所给的四个条件中任意选择两个为一组，能判定▱是正方形的有组．(    ) A. B. C. D. 9.如图，正方形 的面积为 ， 是等边三角形，点 在正方形 内，在对角线 上有一点 ，使 的和最小，则这个最小值为 A． B． C． D． 10.如图，已知正方形 的边长为 ， 是边 延长线上一点， 为 边上一点，，连接 并延长交线段 于点 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ．则下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④当 时，． 其中正确的个数有 A． B． C． D． 二、填空题 1.要使平行四边形 为正方形，须再添加一定的条件，添加的条件可以是 ．（填上一组符合题目要求的条件即可） 2.如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是          ． 3.如图，四边形ABCD15. 如图，在中，，，以为边在三角形外作正方形，连接，交于点，则线段的最大值为          ． 4.如图，正方形的边长为，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，连接，当点恰好落在直线上时，线段的长度是          ． 5.ABCD是正方形，AB＝1，以AB为对角线作第二个正方形AEBF，以EB为对角线作第三个正方形EGBH，以此类推，则第n个正方形的面积是 ． 6.如图，中，，点P为上一个动点，将沿直线折叠得到，点A的对应点为点Q，连接，若为直角三角形时，的长为 ．    三、解答题。 1.如图，在中，，是的一条角平分线点O、E、F分别在、、上，且四边形是正方形．求证：点O在的平分线上． 2.已知：如图，点 ，，， 分别是正方形 四条边上的点，并且 ．求证：四边形 是正方形． 3.已知:如图,四边形ABCD四条边的中点分别为E、F、G、H,连接EF、FG、GH、HE、AC、BD,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形). (1)四边形EFGH的形状是　;  (2)证明你的结论; (3)当AC、BD满足　　　　时,四边形EFGH是菱形;  (4)当AC、BD满足　　　　时,四边形EFGH是矩形;  (5)当AC、BD满足　　　　时,四边形EFGH是正方形.  4. 已知：如图，中，点是上的一动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点，连接、． 求证：； 当点运动到何处时，四边形是矩形？请说明理由； 在的条件下，应该满足条件：______，就能使矩形变为正方形．直接添加条件，无需证明 5.已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=8cm，CD=10cm，点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为l cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥AD？ （2）设四边形APQD的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S四边形APQD：S四边形BCQP=17：27？若存在，求出t的值，并求此时PQ的长；若不存在，请说明理由． $$