4.4 对数函数及其性质课件2-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

对数函数及其性质 复习引入 3称 指数函数 对数函数 般形式 y=ax y=Log a x 指数函数 a>1 2 图像 0<a<1 、对数函数性质比较一 定义域 R (0, +∞) 值域 (0,+∞) R 单调性 a>1 增函数 增函数 0<a<1 减函数 减函数 函数的 a>1 x<0时，0<y<1, 0<X<1时，y<0 览表 变化情 X>0时，y>1 X>1时，y>0 况 0<a<1 x<0时，y>1 0<X<1时，y>0 0d上 复习练习 1.求下列函数的定义域： 1og1(3x-2) (1)y=V (2)y=l0ga(4-x). {x|x<4} 1-l0gx (3)y=V 2 (④=1og(4-r) xx≥2 {x|-2<x<2 2.已知函数y=l0gax-k的图象恒过点(2,0)，则 k的值为1 最今事 3 网 U 典型例题 例1.()已知1og21,求a的取值范围： (2)已知1og.7(2)<log0.7c一1)，求x的取值范围. 解1（由1og71得1og21oga. ①当a>1时，有a<3此时无解： ②当0<a<1时，有}a,从而a<1∴a的取值范制是化1 (2)函数y=log0.x在(0，十o)上为减函数， 2x>0, ∴.由l0g0.7(2x)<l0g0.7c-1),得x-1>0, 解得x>1. 2x>x-1, 人 ∴.x的取值范围是(1，十oo): 4 方法总结 常见对数不等式的2种解法 (①)形如logx>logb的不等式，借助y=logx的单调性求解， 如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logx>b的不等式，应将b化为以a为底数 的对数式的形式，再借助y=logx的单调性求解. (3)要注意变量的取值范围.例如，fc)=log2x, gc)=x2十x,则fgx)=l0g2x2+x)中需有gc)>0: gx)=I0g2x)2+log2x中需有x>0. 5 典型例题 网20已两数7=1 1ogHog(7,其中e3 求函数fx)的值域. (2)函数fw)=log3(c2+2x十4)的值域为 1解：f=-loglog.(27a=(一1+Hlg)3+lngx∈g3 1 令t=l0g3x,则t∈[-2,1， 令g0=(-1+03+0=1+21-3=(+1)2-4, 当t=一1时，g0取得最小值，g0min=g(一1)=一4； 当t=1时，g)取得最大值，g0max=g)=0, ∴.函数fe)的值域为一4,0· (2)解：令u=x2+2x+4,则u=c十1)2+3≥3， .∴l0g3c+2x+4)≥l0g33=1, 人 即函数fx)=log3x2十2x十4)的值域为1，十o): 6 U 方法总结 (1)对数函数的值域为(-∞，+∞). (2)求形如y=logf(x)(a>0,且1)的复合函数值域的步骤： ①求函数的定义域： ②将原函数拆分成y=l0g(a>0,且)，u∫x)两个函数； ③由定义域求u的取值范围； ④利用函数y=log(a>0,且a1)的单调性求值域， 同理可求y-f(logax)(a>0,且1)型复合函数的值域. 7 典型例题 例3.已知函数fw)=log(c+1),ge)=log(1一x),其中a>0,a1. (1)求函数Fx)f)一gx)的定义域； (2)判断Fx)∫x)一gx)的奇偶性，并说明理由： (3)当a>1时，求使Fe)>0成立的x的集合. [解] (1)Fx)=fx)一g)=logc+1)一loga(1一x),若要式子有意义， x+1>0, 则 1-x>0, 即一1<x<1,所以Fx)的定义域为一1<x<1}. (2)Fx)fx)一g),其定义域为(-1,1)，且F(一x)f(-x)一g(一x) =loga(一x+1)一loga(1十x)=一loga(1+x)-loga(1一x)1=-Fx),所 以Fx)是奇函数. (3)Fx)>0,即loga(x+1)一loga(1一x)>0,即logc+1)>loga(1一x) x+1>0, 当a>1时，有1一x>0, 解得0<x<1. 人 x+1>1-x, .使Fx)>0成立的x的集合为x0<x<1} 8 U 巩固练习 1.若函数fx)=log1(一x2十4x+5)在区间(3m一2，m+2)内单调 递增，则实数m的取值范围为 (C) g3原2c原哈+ 解析：由-x2+4x+5>0,解得-1<x<5. 二次函数y=一x2+十4x十5的对称轴为x=2.由复合函数单调 性可得函数fw)=log1(一x2+4x+5)的单调递增区间为 (2,5).要使函数fx)=10g1(一x2+4x+5)在区间(3m-2,m十 3m-2≥2， 2)内单调递增，只需m十2≤5， 解得≤m<2。 3m-2<m+2, 9 q U 巩固