专题09 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训-2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题09 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训 【题型目录】 题型一 求两条线段和的最小值 题型二 求两条线段差的最大值 题型三 求三条线段和的最小值（双动点问题） 题型四 最值问题的实际应用 【知识梳理】 将军饮马中最短路径问题四大模型 一 两定点在直线的异侧 问题1 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 连接AB，与直线l的交点P即为所求。 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。 二 两定点在直线的同侧 问题2：将军饮马 作法 图形 原理 在直线l上找一点P,使得 PA+PB的和最小。 作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。 化折为直； 两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。 三 两动点一定点问题 问题3：两个动点 作法 图形 原理 点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB 边上找一点D,,使得 PC+PD+CD的和最小。 作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2 。 两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。 四 造桥选址问题 问题4：造桥选址 作法 图形 原理 直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。 将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。 两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。 注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以先行学习第3章后再完成该专题训练． 勾股定理公式：a2+b2=c2 【经典例题一 求两条线段和的最小值】 【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式训练】 1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，，，于点D，1．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）如图，在中，AB=AC=7，AD=8.3，点E在AD上，CE=CB，CF平分∠BCE交AD于点F．点P是线段CF上一动点，则EP＋AP的最小值为（　　）    A．6 B．7 C．7.5 D．8.3 2．（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，，，是的两条中线，是线段上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．    4．（2023·广西防城港·统考三模）如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为 ．    5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点D和动点E同时出发，分别以每秒的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，，和交于点F．    (1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由； (2)连接，求t为何值时，； (3)若于点M，点P为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由． 6．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在中，． (1)作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹）． (2)连接，若，的周长是． ①求的长； ②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由． 【经典例题二 求两条线段差的最大值】 【例2】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（    ） A．160 B．150 C．140 D．130 【变式训练】 1．如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________． 【经典例题三 求三条线段和的最小值（双动点问题）】 【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是(        ) A．6 B．12 C．16 D．20 【变式训练】 1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2021秋·浙江·八年级期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上