专练1.2解三角形大题—取值范围问题讲义（二）—2024届新高考高三一轮专题复习

专题1.2—解三角形大题—取值范围问题（二） 解三角形中的求取值范围或最值问题是高考考查的热点，近两年高考多次考查。在解三角形这部分求取值范围就两个思路，一个是用边求（余弦定理+基本不等式），一个是用角求（正弦定理），做题时，大家可以优先考虑用边求，其次再考虑用角求，当题中加了锐角三角形这样的限制条件时，往往需要用角求取值范围。 典型例题 1．在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求面积的最小值． 2．已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且． （1）求的值； （2）若的面积为1，求的周长的最小值． 3．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 4．在中，角，，的对边分别为，，，已知，且． （1）求的外接圆半径； （2）求内切圆半径的取值范围． 5．的内角、、的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 6．如图，是平面四边形的一条对角线，已知在中满足． （1）求； （2）若，，，求四边形面积的最大值． 7．已知点是锐角的外心，，，分别为角，，的对边，， （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求面积的最大值； （Ⅲ）若，求的取值范围． 8．在中，，，的对边分别为，，，且． （1）若，求的值； （2）若，点在线段上，且满足，求的取值范围． 专题1.2—解三角形大题—取值范围问题（二）答案 1．在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求面积的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）在中，角，，所对的边分别为，，，满足， 则， 又， 即， 即， 即， 又， 则； （Ⅱ）已知， 则， 即， 由余弦定理可得：， 又， 当且仅当时取等号， 即， 即， 即， 即面积的最小值为． 2．已知的三个内角、、所对的边分别为、、，且． （1）求的值； （2）若的面积为1，求的周长的最小值． 【解答】解：（1）由正弦定理可得：，整理可得：， ， ， ， ． （2）的面积为1，即：，可得：， ，当且仅当时等号成立， 由，可得：，解得， 的周长，即三角形周长的最小值为． 3．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【解答】解：（1）因为．由正弦定理得， 所以， 即．因为， 所以， 又．所以； （2）由正弦定理可得； ， ，，， ，， 故的取值范围为，． 4．在中，角，，的对边分别为，，，已知，且． （1）求的外接圆半径； （2）求内切圆半径的取值范围． 【解答】解：（1）在中，由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 又，则， 又，解得； （2）由（1）得，则，， 则， 在中，由正弦定理得，即， 则， 又，则，，， ． 5．的内角、、的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【解答】解：（1），即为， 可得， ， ， 若，可得，不成立， ， 由，可得； （2）若为锐角三角形，且， 由余弦定理可得， 由三角形为锐角三角形，可得且，且， 解得， 可得面积，． 6．如图，是平面四边形的一条对角线，已知在中满足． （1）求； （2）若，，，求四边形面积的最大值． 【解答】解：（1）已知在中满足， 由正弦定理得， 所以， 整理得， 即， 因为， 所以， 此时， 又， 则； （2）不妨令， 在中，， 由（1）知为等腰直角三角形， 所以， 则，， 此时 ， 当时，， 故四边形面积的最大值为． 7．已知点是锐角的外心，，，分别为角，，的对边，， （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，求面积的最大值； （Ⅲ）若，求的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理可得，且由已知， 得，因为， 所以； （Ⅱ）因为， 所以， 因为，所以，当时，取最大值16， 此时， 即的面积最大值为； （Ⅲ）分别取，的中点，，连接，， 可得， 同理可得， 由得，， 所以， 即， 在中由正弦定理得：， 代入上式得， 则， 由正弦定理得，，， 代入上式得，； 所以， 所以，即， 因为，且为锐角三角形， 所以， 所以， 所以， 即的取值范围． 8．在中，，，的对边分别为，，，且． （1）若，求的值； （2）若，点在线段上，且满足，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以由正弦定理可得， 由及正弦定理，可得， 所以， 所以，又，， 所以或，所以或， 当时，可得，又，所以不符合题意，舍去； 当时，，所以由余弦定理易得， 综上可得的值为． （2）由（1）知且，所以，， 又由点在线段上，且， 因为分别是和同向的单位向量，所以为角平分线， 所以，所以， 在中，可得， 所以， 又，所以， 所以，所以， 所以的取值范围是． $$