专练1.1解三角形大题—取值范围问题讲义（一）—2024届新高考高三一轮专题复习

专题1.1—解三角形大题—取值范围问题（一） 解三角形中的求取值范围或最值问题是高考考查的热点，近两年高考多次考查。在解三角形这部分求取值范围就两个思路，一个是用边求（余弦定理+基本不等式），一个是用角求（正弦定理），做题时，大家可以优先考虑用边求，其次再考虑用角求，当题中加了锐角三角形这样的限制条件时，往往需要用角求取值范围。 典型例题 1．的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 2．已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 3．中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若于，且，求角的最大值． 4．在中，，，分别为角，，的对边，且满足． （1）求； （2）若点满足，求的取值范围． 5．记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 6．如图，在平面四边形中，，，，设． （1）当时，求的长； （2）求的最大值． 7．在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若点为边的中点，点，分别在边，上，，．设，将的面积表示为的函数，并求的取值范围． 8．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地区域）进行分区改造．区域为蔬菜种植区，区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，区域规划为学生自主栽培区．的周围将筑起护栏．已知，，，． （1）若，求护栏的长度的周长）； （2）学生自主栽培区的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 9．已知的内角，，的对边为，，，且． （1）求； （2）若的面积为，求内角的角平分线长的最大值． 专题1.1—解三角形大题—取值范围问题（一）答案 1．的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，求面积的最大值． 【解答】解：（1）根据正弦定理及， 得， ， ， ， ； （2）由（1）知，又， 由余弦定理得， 即， ， ，即， 当且仅当时取等号， ， 的最大值为． 2．已知的内角，，的对边分别为，，，． （1）求的值； （2）若，求面积的最大值． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得，， 整理得； （2）因为，因为，由（1）可得，则， 又，即，当且仅当时等号成立， 于是， 所以的最大值为． 3．中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若于，且，求角的最大值． 【解答】解：（1）已知等式化为， 所以， 结合三角形内角和性质，可得，则． （2）由已知得的面积， 得到， 又由余弦定理得，且， ， 即角的最大值为． 4．在中，，，分别为角，，的对边，且满足． （1）求； （2）若点满足，求的取值范围． 【解答】解：（1）因为，所以, 即, 整理可得：, 解得：或 (舍， 在中可得； 设, 因为， 所以,, 在中，由正弦定理可得：, 所以, , 所以, 因为,所以,, 所以,, 所以， 5．记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）若，求； （2）求的最小值． 【解答】解：（1），，． ， 化为：， ， ，， ， ，． （2）由（1）可得：，，，， 为钝角，，都为锐角，． ， ，当且仅当时取等号． 的最小值为． 6．如图，在平面四边形中，，，，设． （1）当时，求的长； （2）求的最大值． 【解答】解：（1）在中，． 在中，因为， 由余弦定理得， 因此； （2）在中，， 在中，因为，由余弦定理得： ，所以， 所以当，即时，最长，的最大值为． 7．在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若点为边的中点，点，分别在边，上，，．设，将的面积表示为的函数，并求的取值范围． 【解答】解：（1）因为，所以， 即，所以， 因为，所以； （2）由，及，可知为等边三角形， 又因为，，所以， 在中，，由正弦定理， 在中，，由正弦定理，所以，， 因为 ，所以，所以的取值范围为． 8．为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地区域）进行分区改造．区域为蔬菜种植区，区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，区域规划为学生自主栽培区．的周围将筑起护栏．已知，，，． （1）若，求护栏的长度的周长）； （2）学生自主栽培区的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意得在中，，，， 由余弦定理得， ， ，即是直角三角形，且， ， 又，故， 是等边三角形， ， ， 护栏的长度的周长）为； （2）学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下： 设， 在中，，则， 由正弦定理得，解得， 在中，， 由正弦定理得，解得， ， 当，即时，， 的面积的最小值为． 9．已知的内角，，的对边为，，，且． （1）求； （2）若的面积为，求内角的角平分线长的最大值． 【解答】解：（1）由