专题 构造全等三角形常用的辅助线作法（四大题型）-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精讲精练（苏科版）

（苏科版）八年级上册数学《第一章 全等三角形》 专题 构造全等三角形常用的辅助线作法 题型一 直接连线构造全等三角形 【例题1】 （2022秋•澧县期中）如图，AB＝DC，AC＝DB，AC和DB相交于点E． 求证：∠A＝∠D． 解题技巧提炼 题目条件或结论所指向的三角形不存在，如果只需连接某些线便可得到全 等三角形，那么就有效解决问题.若四边形中有两对邻边相等(如下图)，常 连接这两对邻边的交点构造全等三角形解题. 【变式1-1】如图，若AB＝AC，BD＝CD，∠B＝20°，∠BDC＝120°，求∠A的度数． 【变式1-2】如图，在筝形四边形ABDC中，AB＝AC，BD＝CD，已知∠BAC＝80°，∠BDC＝60°，试求∠B的大小． 【变式1-3】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC 求证：AB＝CD，AD＝BC． 【变式1-4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝BC，点E为BC上一点，且CD＝CE．求证：AE⊥BC； 【变式1-5】已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF． 题型二 利用“截长补短法”构造全等三角形 解题技巧提炼 在处理线段的和差问题时，常采取“截长补短”的方法；截长法是在较长的线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的部分等于另一短线段；补短法是将某短线段延长，使延长的部分等于另一短线段，或是使短线段延长至等于长线段. 【例题2】 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E． 求证：AB+CD＝BC． 【变式2-1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AB+BD，求证：∠B＝2∠C． 【变式2-2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC． 【截长法】 【补短法】 【变式2-3】在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点， 求证：AB﹣AC＞PB﹣PC． 【变式2-4】截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　 　． 探索问题： （2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【变式2-5】如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：AE+CD＝AC； （3）求证：OE＝OD． 【变式2-6】阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 　 　cm2． （2）请你用上面学到的方法完成下面的习题． 如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积． 【变式2-7】（2023春•渠县期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写