2024年高考数学一轮复习第一章 《集合与常用逻辑用语、不等式》第3节等式性质与不等式性质

第三节 等式性质与不等式性质 课标要求 1.掌握等式的性质. 2.会比较两个数（式）的大小. 3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 必备知识·整合 〔知识梳理〕 1.比较两个实数大小的方法 关系 方法 作差法 作商法 ＞ 或 ＜ 0 或 2.不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 ； 可逆 传递性 ， ； ， 同向 可加性 可逆 可乘性 ， ； ， 的符号 同向可加性 ， 同向 同向同正可乘性 ， 同向，同正 可乘方性 ， 同正 可开方性 ， ， 同正 知识拓展 1.倒数性质的四个必备结论 （1） , . （2） . （3） , . （4） 或 . 2.有关分数的性质 若 ， ，则： （1） ， ； （2） ， . 〔课前自测〕 1. 概念辨析（正确的打“√”,错误的打“×”）. （1） 两个实数 ， 之间，有且只有 ， ， 三种关系中的一种.( √ ) （2） 若 ，则 .( × ) （3） 若 ，则 .( × ) （4） .( × ) 2. （新教材改编题）若 ， ，则一定有( B ) A. B. C. D. 3. 易错题 多选题 下列命题一定为真命题的有( BD ) A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 且 ，则 [解析]当 时， 不成立， 是假命题；由 ，得 ， 是真命题； ， 是假命题； ， ， ，则 ， 是真命题.故选BD. 易错提醒 本题易忽视字母符号而致误. 4. [2023江苏南京模拟]设 ， 均为非零实数且 ，则下列结论中正确的是( D ) A. B. C. D. [解析]取 ， ，则可以判断A，B，C错误；对于D，因为 ，所以 ，即 ，D正确. 5. （新教材改编题）已知 ， ，则 的取值范围是 . 关键能力·突破 考点一 比较两个数（式）的大小 1. 设 ， ，则 与 的大小关系是( D ) A. B. C. 仅有 时， D. 以上结论都不成立 [解析] ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，所以 ， 的大小关系不确定. 2. 若 ， ， ，则( B ) A. B. C. D. [解析]解法一：易知 ， ， 都是正数， ，所以 ； ，所以 ，即 . 解法二：构造函数 ， ，则 ，由 ，得 ，由 ，得 ， 在 上单调递增，在 上单调递减. , ，即 . 3. [2023广东中山月考]已知 ， ，则 与 的大小关系为 . [解析] ， ， ， ， ， ，即 . 方法感悟 比较大小的常用方法 （1）作差法：①作差；②变形；③判断差与0的大小关系；④得出结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. （3）构造函数法：利用函数的单调性比较大小. 考点二 不等式的性质 例1 [2022福建三明一中模拟]多选题 已知 ，则下列不等关系中正确的是( CD ) A. B. C. D. [解析]由 ，得 .当 ， 时，A错误； 当 ， 时，B错误；根据基本不等式可知，C正确： 由 ，得 ，因为 ，所以D正确. 方法感悟 判断不等式的常用方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证，其中要特别注意前提条件. （2）利用特殊值法排除错误. 迁移应用 1. [2023湖南长沙二模]设 ， 都是实数，则“ 且 ”是“ 且 ”的( A ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]当 且 时，必有 且 ；当 且 时，如 , 不满足 ，故不一定有 且 .所以“ 且 ”是“ 且 ”的充分不必要条件. 2. [2022福建厦门双十中学模拟]已知实数 ， ， 满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是( A ) A. B. C. D. [解析]由题意得， , ， 与0的大小关系不确定，故 一定成立； 易知 , ， ， 与1的大小关系不确定, 当 时，函数 的单调性不确定，因此 不一定成立； 易知 不一定成立；由于 与1的大小关系不确定，函数 的单调性不确定， 故 不一定成立. 考点三 不等式的性质的应用 例2 （1） 多选题 已知 ， ，则( AC ) A. B. C. D. （2） [2022湖北省荆州中学三模]已知实数 ， 满足 ， ，则 的取值范围为 . [解析]设 ，则 解得 所以 ，因为 ， ， 所以 ， ， 所以 . 方法感悟 利用不等式的性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点