2.2基本不等式教学设计-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式的教学设计 随着新一轮的课程改革的不断深入，教师的教学观念也发生了很大的变化，由重点关 注学生的成绩转向关注学生的学科素养，真是由于思想的转变，笔者以“基本不等式”这节 课为例进行了如下的教学设计 一、教材分析 基本不等式是一种重要而基本的不等式类型，在中数学知识体系中也是一个非常重的基 础的内容基本不等式是几何平均数小于等于算术平均数的最基本和最简单的情形，可以推 广至个正数的几何平均数不大于算术平均数基本不等式的代数结构也是数学模型思想的 一个范例，借助这个模型可以求最大值与最小值同时，在理解和应用基本不等式的过程中 涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法因此基本不等式内容可 以培养学生的逻辑推理、数学运算和数学建模的素养」 二、教学目标 (1)理解基本不等式Vab≤a+b (a>0,b>0),发展逻辑推理素养 2 (2)结合具体实例，用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，发展学生的数学 运算和数学建模素养 三、重难点 重点：能使用基本不等式解决简单的求最值问题 难点：基本不等式的几何意义理解 四、教学设计 (一)情景引入 教师介绍欧拉的个人介绍，他是一位伟大的数学家，关于他有许多故事，欧拉小时候就显 出了优秀的数学能力，帮助父亲解决了许多麻烦的问题 问题1：由于羊群繁殖过快，他父亲计划建一个长30m,宽20m,共600m2的长方形羊 圈动工时发现原材料只够围成100m的篱笆，该怎么办？你能否想出欧拉是如何帮父亲解 决的吗？ 师生活动：学生尝试给出解决的办法，教师引导学生对这个问题进行数学抽象，从而引出本 节误所要学习的内容 学生给出解决方法：设建设羊圈的长为xm,宽为ym,则x+y=50,求y的最大值 教师追问：你能否将这个问题抽象成更一般的问题？ 学生经过独立思考，小组讨论给出结果：已知x,y>0,x+y=P(定值)，求y的最大 值.① 设计意图：从生活中例子引入基本不等式，能够激发学生的学习兴趣，同时也能让学生体会 数学的应用性，对这个问题进行数学抽象，还能提升学生的数学抽象素养。 (二)基本不等式的定义 问题2：在上一节，我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：a,b∈R,有 a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立特别地，如果a>0,b>0,我们用√a,√b分 别代替上式中的a,b,可以得到怎样的式子？ 师生活动：学生独立计算后回答结果教师总结：√b≤口+b 成为基本不等式，同时给出 2 几何平均数与算术平均数的概念 设计意图：通过上一节课得出的不等式a2+b2≥2b,得到基本不等式，让基本不等式的 由来比较自然，同时也指出了两个不等式间的联系通过分析基本不等式的代数结构特征， 得到基本不等式的代数解释，加深对它的理解。 (三)基本不等式的证明 问题3：前面我们通过a2+b2≥2ab的特殊情形得出了基本不等式，你能否尝试给出它的 证明过程？ 师生活动：学生可能根据两个实数大小的基本事实，用作差法加以证明教师肯定学生的做 法之后，让学生自学课本第44页，同时指出将过程倒过来写，就得出另外的方法 设计意图：让学生体会数学的严谨性，每一项结论都要给出严格的证明，同时引导学生认识 分析法，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的方法 (四)基本不等式的几何意义 问题4：前面我们学习不等式a2+b2≥2ab时知道，它的几何意义是：正方形的面积大于 等于4个全等的直角三角形的面积，那么√而≤a+b 有几何意义吗？完成课本第45页的 2 探究 师生活动：学生思考后回答，教师引导学生总结：半径大于等于半弦 设计意图：让学生自己寻找基本不等式的几何意义是非常困难的，因此这里给出了几何图形 引导学生将Vab和a+b 与图中的几何元素建立起联系来，从而获得基本不等式的几何意 2 义 (五)基本不等式的应用 例1：已知x>0,y>0,x+y=50,求y得最大值 师生活动：学生尝试用基本不等式解决，教师从中加以引导，最后师生共同总结方法及注意 事项（一正、二定、三相等） 设计意图：回扣引例，并找到解决问愿需要注意的问题 追问：你能否类比上述解决问题的过程解决上面提出的问题：己知x,y>0,x+y=P(定 值)，求y的最大值 师生活动：学生独立思考，小组讨论解决问题，教师适当指导 设计意图：将通过特殊问题的解法得到一般问题的解法 追问：你能否类比问题①提出类似的问题？ 师生活动：学生思考后回答答案， 设计意图：比较自然的引出积定和最小的问题，同时又训练了学生提出问题的能力，以及类 比推理的能力 己知x,y>0,y=P(定值)，求x+y的最小值.② 师生活动：学生尝试解决问题②。 练习：已知x,y>0,且满足y=1,求2x+y的最小值 师生活动：学生练习 设计意图：从问题②的一般情形在回到特殊情形