第07讲 构造法求数列通项的六种方法-2024年高考数学复习大题题型归纳与满分秘籍（新高考版）

第07讲 构造法求数列通项的六种方法 考法一：an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0） 例题分析 【例1】 已知各项均为正数的数列{}满足（正整数 (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列{}的前n项和. 满分秘籍 遇到an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0）的形式 第一步构造出：an＋1＋t＝p（an＋t）的形式； 第二步利用待定系数求出t的值。 则数列{an＋t}为公比为p的等比数列。 变式训练 【变式1-1】已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)若，数列满足，求的前项和． 【变式1-2】已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，为数列的前n项和，求． 【变式1-3】在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 考法二：an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0) 例题分析 【例2】已知：，时，，求的通项公式． 满分秘籍 先构造出，然后利用待定系数法求出A和B的值，即可判断出数列{}为公比为p的等比数列。 变式训练 【变式2-1】已知数列满足：，． （1）证明：数列是等比数列并求数列的前项和为． （2）设，求数列的前项和． ①②得：                             所以. 【变式2-2】设数列满足，． (1)求证：为等比数列，并求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式2-3】已知数列中，，满足，设为数列的前项和． (1)证明：数列是等比数列； (2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围． 考法三：an＋1＝pan＋rqn 例题分析 【例3-1】p=q 已知数列的首项，满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，将数列分组：，，，，，记第组的和为. （i）求数列的通项公式； （ii）证明. 【例3-2】p≠q 已知数列满足，，求数列的通项公式． 满分秘籍 当p=q时，等式两边同时除以p，即可构造出一个等差数列。 当p≠q时，可设，利用待定系数求出参数的值，即可构造出等比数列。 变式训练 【变式3-1】已知数列中,,． (1)求证:是等比数列,并求的通项公式; (2)设 求数列的前项的和． 【变式3-2】若数列满足,． (1)证明:是等比数列； (2)设的前n项和为,求满足的n的最大值． 考法四：an＋2＝pan+1＋qan 例题分析 【例4】已知数列中，，求的通项公式． 满分秘籍 设出，利用待定系数求出s和t的值，则可等到数列为公比为t的一个等比数列。 变式训练 【变式4-1】已知数列满足，，，求 【变式4-2】已知数列满足，，． (1)证明：是等比数列； (2)证明：存在两个等比数列，，使得成立． 【变式4-3】已知数列满足，，且. (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 考法五：an＋1＝ 例题分析 【例5】已知数列满足：求通项. 满分秘籍 等式两边同时取倒数，即可得到一个新的等比数列。 变式训练 【变式5-1】在数列中，求． 【变式5-2】已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. 【变式5-3】已知数列的首项，且满足. (1)求证：数列为等比数列： (2)若，求满足条件的最大整数. 考法六：an＋1＝pan2 例题分析 【例6】设正项数列满足，，求数列的通项公式． 满分秘籍 两边同时取对数，可以构造出一个等比数列。 变式训练 【变式6-1】数列中， ，，求数列的通项公式. 23．已知数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 24．已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和，求证：. 真题专练 1．已知数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．已知数列满足，． （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求使不等式＜对一切恒成立的实数的范围． 3．已知正项数列满足且. （1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）证明：数列的前项和. 4．已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 5．已知数列满足，且． （1）设，求证是等比数列； （2）求数列的前项和． 6．设数列满足 (1)求的通项公式； (2)设，记，证明：． 7．已知数列，满足，，．证明为等比数列，并求的通项公式； 8．在数列中，，. (1)设，证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 9．已知数列和满足：，，数列的前项和为. (1)求数列和的通项公式： (2)设数列，求数列的前项和. 10．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列