专题03 正方形的性质与判定（知识串讲+10大考点）-【一遍过】2023-2024学年九年级数学上册重难考点一遍过（北师大版）

专题03 正方形的性质与判定 考点类型 知识一遍过 （一）正方形的性质 正方形的性质： 因为ABCD是正方形 几何表达式举例： (1) 对边平行且相等，对角线互相平分 (2) ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=DA ∠A=∠B=∠C=∠D=90° (3) ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC=BD AC⊥BD （二）正方体的判定 正方形的判定： 四边形ABCD是正方形. 几何表达式举例： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形 又∵AD=AB ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (2) ∵四边形ABCD是菱形 又∵∠ABC=90° ∴四边形ABCD是正方形 (3)∵四边形ABCD是矩形 又∵AD=AB ∴四边形ABCD是正方形 考点一遍过 考点1：正方形的性质——求角度 典例1：（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，在正方形的外侧，作等边，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2023春·山东济宁·八年级统考阶段练习）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，E为上一点，过点E作交于点 F，连接，． 若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）如图，在正方形的外侧，作等边，若，则的度数是(    )    A． B． C． D． 【变式3】（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，点 为正方形 对角线 上一点，如果 ，那么 的度数是（   ）    A． B． C． D． 考点2：正方形的性质—— 求线段 典例2：（2023春·湖南郴州·八年级校考期中）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，则的长是（    ）    A． B． C． D．2 【变式1】（2023秋·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，正方形ABCD中，E为DC边上一点，且．将AE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF，FC．则线段FC的长度是（    ）    A． B． C．2 D． 【变式2】（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C．2 D． 【变式3】（2023春·云南·八年级统考期末）如图，正方形的对角线交于点O，E是正方形外一点，且，若，，则的长为（    ）    A． B．9 C． D． 考点3：正方形的性质——求面积 典例3：（2022秋·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是，则有（　　）    A． B． C． D．无法确定 【变式1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，边长为2的正方形的对角线相交于点，正方形绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（    ） A． B． C．1 D．2 【变式2】（2023春·海南海口·八年级统考期末）三个边长为的正方形按图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（2021春·广东东莞·八年级校联考期中）如图，在直线上依次摆放看七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、、、，则等于(   )    A．4 B．6 C．8 D．10 考点4：正方形的性质——证明题 典例4：（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知：正方形中，点E，M分别在边，上．      (1)如图1，，垂足为点G，求证：； (2)如图2，点F，N分别在边，上，若，请判断和的大小关系，并说明理由． 【变式1】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）在正方形中，点E为射线上的一个动点，点F在射线上，且．    (1)如图1，当点E在边上时，求证：； (2)如图2，当点E在边的延长线上时，请你判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，点G在边上，且，点P为的中点，在点E从点B沿射线运动的过程中，的周长的最小值为___________（直接写出结果）． 【变式2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，，求的长． 【变式3】（2023·江苏常州·统考一模）已知：如图1，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接、．    (1)求证：； (2)如图2，过点D作，交A