第2章轴对称图形（最值模型之将军饮马）专题练习2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第2章 轴对称图形（最值模型之将军饮马） 知识梳理 【知识点1】将军饮马模型（利用对称，根据“两点之间，线段最短”原理） 模型1：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小． 模型2：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小． 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″ 模型3：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小． 作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C 【典型例题】 题型一：求类似PA+PC最小 【例题】如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点．若AD=6，则EP+CP的最小值为_______________． 【变式训练】 1.已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（       ）． A． B． C． D． 2.如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=______． 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点． （1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小； （2）若点P为AB的中点，当∠BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由． 4.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　 　； （2）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由． 题型二：求三角形的周长最小 【例题】如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是______． 【变式训练】 1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝　 　°． 2.如图，∠AOB＝45°，P是∠AOB内的一点，PO＝10，点Q，R分别在∠AOB的两边上，△PQR周长的最小值是 　 　． 3.如图所示，在中，，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上一个动点，的面积为12，，则周长的最小值是_______________． 4.如图，在锐角∠AOB的内部有一点P，试在∠AOB的两边上各取一点M，N，使得△PMN的周长最小．（保留作图痕迹） 5.如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD． （1）求边AB的长； （2）求点C，D的坐标； （3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【过关检测】 1、 选择题 1.如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ） A．8 B．10 C．11 D．13 2.如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（ ）． A．8 m B．4 m C．2 m D．6 m 3.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连接AE．若AD=3，△ACE的周长为13，则△ABC的周长为（　　　） A．18 B．19 C．26 D．29 4.如图，和关于直线对称，下列结论：（1）；（2）；（3）直线垂直平分；（4）直线平分．正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.在等边中，D，E分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当D从点A向B运动（不与点B重合）时，的变化情况是（ ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小 6.如图，在四边形中，，在上分别找到点M，N，当的周长最小时，的度数为（ ） A．118° B．121° C．120° D．90° 2、 填空题 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°