第1章 一元二次方程（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（苏科版）

第1章 一元二次方程（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 考点1 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3） 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【例1】（2022秋·江苏徐州·九年级校考期末）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意； B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意； C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，故D符合题意． 【变式】（2022秋•大丰区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（　　） A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3 【解答】解：∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程， ∴m﹣3≠0， 解得：m≠3． 故选：B． 考点2 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2） 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【例2】一元二次方程3x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣2，1 B．3，2，1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1 【解答】解：∵方程3x2﹣2x＝1化成一般形式是3x2﹣2x﹣1＝0， ∴二次项系数是3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1． 故选：C． 【变式】（2022秋•建邺区期中）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0 【解答】解：（x﹣1）2＝6， x2﹣2x+1﹣6＝0， x2﹣2x﹣5＝0， 即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0， 故选：B． 考点3 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 【例3】（2023•武进区校级模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2 【解答】解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得： k2﹣4＝0， 解得k1＝2，k2＝﹣2， 而k﹣2≠0， 所以k＝﹣2． 故选：A． 考点4 解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【例4】（2022秋•宜兴市期末）方程（x+3）2＝4的根是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5 【解答】解：（x+3）2＝4， ∴x+3＝±2， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣5， 故选：A． 【变式】（2022秋•京口区校级期末）解方程：3（x﹣1）2﹣12＝0； 解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， 所以x1＝3，x2＝﹣1； 考点5 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方