1.3正方形的性质与判定【素养基础达标】 2023-2024学年北师大版数学九年级上册+重点题型全归纳

2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳 1.3正方形的性质与判定【素养基础达标】 知识框架图： 一．选择题 1．在四边形中，，分别是边，的中点，、分别是对角线，的中点，依次连接，，、得到的四边形一定是　　 A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于　　 A． B． C． D． 3．如图，点为正方形外一点，且，连接，交于点．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 5．下列说法： （1）对角线互相垂直的四边形是菱形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形； （4）两组对角相等的四边形是平行四边形； 其中正确的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的有　　 ①当时，它是菱形； ②当时，它是菱形； ③当时，它是矩形； ④当时，它是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，．下列四种说法： ①四边形是平行四边形； ②如果，那么四边形是矩形； ③如果平分，那么四边形是菱形； ④如果，且，那么四边形是正方形． 其中，正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，正方形的边长为，点为对角线上一点，当时，则的长是　　 A． B． C． D． 9．小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得，对角线，接着把活动学具变为图2所示的正方形，则图2中的对角线的长为　　 A． B． C． D． 10．如图在正方形中，点是对角线，交点，过点作射线，分别交，于点，，且，，交于点．有下列结论： ①； ②； ③四边形的面积为正方形面积的； ④．其中正确的是　　 A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二．填空题 11．若正方形的面积是9，则它的对角线长是　 　． 12．如图，直线，正方形的顶点、分别在直线、上．若，则　　． 13．若正方形的对角线是6，则此正方形的面积是 　　． 14．如图所示，在正方形中，是上的一点，且，则的度数是　　度． 15．若正方形对角线长为4，则它的面积为 　　． 16．如图，正方形的顶点、都在直角坐标系的轴上，点的坐标是，则点的坐标是 　　． 17．如图，已知阴影部分是一个正方形，，，则此正方形的面积为 　　． 18．如图，正方形的边长为1，点，分别是对角线上的两点，．，，，垂足分别为，，，．则图中阴影部分的面积等于　　． 三．解答题 19．用两根同样长的铁丝分别围成一个长方形和一个正方形，长方形的长为，宽为，且，设正方形的面积为，长方形的面积为． （1）用含、的代数式表示正方形的边长 　　； （2）用含、的代数式表示、，并比较与的大小． 20．如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，与相交点，以，为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 21．如图，四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22．如图，已知正方形，点，分别为边和上的点，且． 求证：． 23．已知：如图，在平行四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于． （1）求证：； （2）当平行四边形的边或角满足什么关系时，四边形是正方形？请说明理由． 24．如图，点为正方形外一点，连接，，． （1）如图1，当时，求证； （2）如图2，当时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 25．已知：点在线段上，分别以、为边在线段的同侧作正方形和，连接、． （1）如图1，判断与的关系，并证明你的结论； （2）如图2，若点在上（点不与点重合），且，求证：四边形是平行四边形． 26．如图，在正方形中，为边上一点，延长至点，使，过点作，连接，且．求证：． 2023-2024学年北师大版数学九年级上册 重点题型全归纳 1.3正方形的性质与判定【素养基础达标】 知识框架图： 一．选择题 1．在四边形中，，分别是边，的中点，、分别是对角线，的中点，依次连接，，、得到的四边形一定是　　 A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】 【分析】利用三角形的中位线定理可以证得，，即可得出结论． 【解答】解：四边形中，、、、分别是、、、的中点， ，．，． ，， 四边形是平行四边形． 故选：． 2．如图，正方形中，以对角线为一边作菱形，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正方形的性质求出，再根据菱形的性质，即可解