第19讲 导数与不等式证明常考考点-2024年高考数学一轮复习考点方法题型总结（新高考专用）

第5讲 导数与不等式证明常考考点 题型一：简单不等式的证明 【精选例题】 【例1】证明以下不等式： (1)；(2)；(3). 【例2】求证：． 【例3】证明：. 【例4】已知函数，，函数与函数的图象在交点处有公共切线. （1）求、的值； （2）证明：. 【例5】已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【例6】已知函数， (1)若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围； (2)求的零点个数； (3)若，求证：对于任意，恒有． 【跟踪训练】 1．（多选题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设，当时，证明：. 3.设函数f(x)＝alnx＋，a∈R. （1）讨论函数f(x)的单调性； （2）当a＝1且x1时，证明： 4.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，． 题型二：化简整理构造新函数解不等式 解题思路：对数独行侠，指数找朋友 对数独行侠：若题目中出现，我们在求的性质时，如果直接求导，导函数里面依然会有，这时需要求多次导，题目越来越复杂．为了解决这个问题，我们只有“狠心”拆散和，将提出来，使的系数为常数，次数为1，此时变成一个“独行侠” 指数找朋友：若题目中出现，若我们直接求导，即，可见求导之后依然有，很难求出极值点．但我们可以使用做商的办法，构造一个，达到简化目的，增大极值点的可求性．所以，我们在证明大于或小于一个非超越式时，可以做商构造出，可以避免多次求导，这也是在给找朋友． 【精选例题】 【例1】求证： 【例2】已知函数，，证明：． 【例3】已知函数． (1)求证：在和上都是增函数； (2)设且，，求证：． 【例4】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)证明：当时，． 【跟踪训练】 1.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：. 2.已知函数. （1）当时,讨论的单调性; （2）若有两个零点, 求的取值范围. 3.已知函数. (1)若时,求证：当时,; (2)若不等式恒成立, 求实数的取值范围. 4.已知函数,曲线在点处的切线方程为 . (1)求的值； (2)如果当,且时,,求的取值范围. 题型三： 【例1】设函数，． (1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围； (2)当时，求证：． 【例2】设函数的图像在点处切线的斜率为. (1)求实数的值. (2)证明：. 【跟踪训练】 1.已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明： ． 2.已知，其中常数． (1)当时，求函数的极值； (2)求证：． 题型四：同构函数证明不等式 【例1】已知函数，，其中e为自然对数的底数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时，. 【跟踪训练】 1.已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，． 2.设函数. (1)若，求的取值范围； (2)若且，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 $$ 第19讲 导数与不等式证明常考考点 题型一：简单不等式的证明 【精选例题】 【例1】证明以下不等式： (1)；(2)；(3). 【详解】（1）解：令，则有.令，即，解得； 令，即，解得，所以在单调递减，上单调递增，所以，即.所以. （2）解：令，则.令，即，解得； 令，即，解得，所以在单调递增，上单调递减，所以，即，所以. （3）解：由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①.由（2）得，所以（当且仅当时取等号）②，因为①式与②式取等号的条件不同，所以. 【例2】求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：令，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则在时求得最小值，即在上恒成立，即在上恒成立 【例3】证明：. 【答案】证明见解析 【详解】令，则，令，则， 所以在上单调递增，且，故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值也是最小值，故，因此. 【例4】已知函数，，函数与函数的图象在交点处有公共切线. （1）求、的值； （2）证明：. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【详解】解：（1），，由题意得解得，； （2）证明：令，则， 令，得，令，得，所以在上为增函数，在上为减函数， 所以，所以，即. 【例5】已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1），，，所以的图象在点处的切线方程为. （2）当时，要证，即要证，只要证，设， ，当时，，当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以，所以当时，，即.故原不等式成立. 【例6】已知函数， (1)若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围； (2)求的零点个数； (3)若，求证：对于任意，恒有．