3.3.1抛物线及其标准方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 掌握抛物线的定义及其标准方程的推导过程。 2. 运用解析法（坐标法）研究抛物线的标准方程，并能利用其解决相关问题。 3. 核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 平面内动点到定点的距离与动点到定直线(不经过点)的距离的比是常数： 1、当时，动点的轨迹为椭圆； 2、当时，动点的轨迹为双曲线； 3、当时，动点的轨迹为什么？ 抛物线 二、新课讲授 1、抛物线 问题1 平面内动点到定点的距离与动点到定直线(不经过点)的距离相等时，点的轨迹是什么？ 问题2 你能类比椭圆、双曲线的定义给出抛物线的定义吗？ 定义：一般地，我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线 5 问题3 你能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，推出抛物线的标准方程吗？ 建系→设点→列式→化简→检验 如何建系？ 建系应使得抛物线的方程更简单 2、抛物线的标准方程 1、建立适当的坐标系，用有序数对（）表示曲线上的任意一点的坐标； 2、写出合适条件的点的集合是建立曲线方程的依据； 3、用坐标表示条件，列出方程0，这是建立曲线方程是关键； 4、将方程0化为最简形式，以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上，反之也成立. 建系：以经过抛物线的焦点的直线为轴，准线在轴上的垂足为，使原点与的中点重合，建立如图的平面直角坐标系. 设焦点与准线间的距离，那么焦点的坐标为，准线的方程为= . 设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为. 8 问题4 如何用坐标表示抛物线上的点所满足的条件？ 分析：由抛物线的定义可知，抛物线可看作点集： 由有 化简得 (). 9 因为方程 变形到 ()的过程中都是同解变形，所以抛物线上任意一点的坐标都满足该方程；反之，以方程 ()的解为坐标的点都在抛物线上. 我们称方程 ()是抛物线的标准方程，它表示焦点在轴上，焦点是 ，准线是= 的抛物线. 10 问题5 选择不同的坐标系时，抛物线的标准方程又有哪些不同的形式呢？ 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 () () () () 追问1 抛物线有什么特征？ () () () () 1、等号左边是系数为1的二次项. 2、一次项定轴，系数正负定方向. 3、是焦点到准线的距离，是抛物线的唯一特征量. 4、一次项的系数是焦点横（纵）坐标的4倍. 三、巩固新知 例1 （1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是 ，求它的标准方程. 分析：先定位，再定量，数形结合 解：（1）因为，所以=3. 又因为抛物线焦点在轴正半轴上，所以焦点坐标为 又准线方程为= （2）因为抛物线焦点在轴负半轴上，且=2，所以=4 故抛物线的标准方程为： 14 例2 一种卫星天线如左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线。在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如右图所示.已知接收天线的口径（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标. 解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在轴上. 设抛物线的标准方程为.由已知条件得，点的坐标是(1,2.4)，代入方程，得 ×1，解得2.88 所以，所求抛物线的标准方程为： ，焦点坐标是(1.44，0) 四、课堂小结 抛物线的概念及其标准方程 五、作业布置 课本P133： 练习 第1、2题 Lavf57.62.100 $$