专题21.4 一元二次方程的根与系数的关系（四大考点）-2023-2024学年九年级数学上册考点剖析及精准练习（人教版）

专题21.4一元二次方程的根与系数的关系 1.理解一元二次方程根与系数的关系 2.会用一元二次方程根与系数的关系解决关于根的式子 一、一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 二、常用根与系数的关系解决以下问题 ①已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数． ②不解方程求关于根的式子的值，如求，等等． ③判断两根的符号．④由给出的两根满足的条件，确定字母的取值． 这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑这两个前提条件． 考点01韦达定理 例1．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 变式1-1．关于x的一元二次方程的两根之和为_____． 变式1-2．方程 的两个根分别为，，的值为_____． 变式1-3．关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (2)若方程的两根之积等于0，求的值． 考点02已知方程及方程的一个根 例2．若，且为一元二次方程的一个根，则该方程的另一根为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．若关于x的一元二次方程的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（　　） A．， B．，8 C．4， D．4，8 变式2-2．若关于的方程的一个根是1，则另一个根为_____． 变式2-3．若是方程的一个根，则方程的另一个根是_____． 考点03求关于根的式子 例3．已知，是方程的两个根，则的值是_____． 变式3-1．设是方程的两个实数根，则的值为_____． 变式3-2．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 变式3-3．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)设方程的两个实数根分别为，，求代数式的最大值； 考点04给出的两根满足的条件，确定字母的取值 例4．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则的值为(   ) A．或1 B．或3 C． D．3 变式4-1．已知、是关于x的方程的两个实数根，且，，则的值是（    ） A． B． C．8 D． 变式4-2．已知关于x的一元二次方程．若方程的两个实数根分别为、，且，则m的值为_____． 变式4-3．已知关于的方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围； (2)当方程的两个根满足时，求的值． 基础过关练 1．下列关于x的方程中，两实数根之和为3的是（      ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，此方程有两个不相等的实数根 B．当时，此方程没有实数根 C．当时，此方程有两个相等的实数根 D．此方程根的情况与的值无关 3．已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是（　　） A．3 B． C． D． 4．已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．若方程的两个根，则的值为_____． 6．已知一元二次方程的两个实数根是， ，则的结果是_____． 7．关于的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是_____． 8．一元二次方程的两根是，，且，则的值为_____． 9．已知关于的方程． (1)求证：不论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求方程的另一个根． 10．已知关于x的一元二次方程， (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求a的值． 11．已知关于x的一元二次方程有实数根，． (1)求m的取值范围； (2)若满足，求m的值． 12．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 能力提升练 1．已知m，n是关于x的方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C．0 D． 2．已知、为一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．若是的两个根，且，则的值是（　　） A． B．1 C．1或7 D．7或 4．设，是方程的两个不相等的实数根，则的值为_____. 5．已知、，满足等式：，则_____． 6．如果，是一元二次方程的两个根，那么，，已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则_____． 7．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 8．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求方程的另一根和的值． (3)当时，若