专题4.3 对数【七大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题4.3 对数【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 对数的概念的理解】 2 【题型2 指数式与对数式的互化】 2 【题型3 对数的运算性质的应用】 3 【题型4 换底公式的应用】 4 【题型5 指、对数方程的求解】 4 【题型6 带附加条件的指、对数问题】 4 【题型7 对数的实际应用】 6 【知识点1 对数的概念】 1．对数的定义、性质与对数恒等式 (1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)对数的性质： ①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1). (3)对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=. 用图表示为： 2．常用对数与自然对数 名称 定义 符号 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 简记作lg N 自然对数 以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ≈2.71828 简记作ln N 【题型1 对数的概念的理解】 【例1】（2022春·江苏南京·高一校考阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可化为对数式 C．以10为底的对数叫做常用对数 D．以e为底的对数叫做自然对数 【变式1-1】（2022秋·高一单元测试）已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·四川甘孜·高一校考阶段练习）对于 ，且，下列说法中，正确的是（    ） ①若 ，则 ;         ② 若，则; ③ 若 ，则;       ④若 ，则. A．①③ B．②④ C．② D．①②④ 【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型2 指数式与对数式的互化】 【例2】（2023·高一课时练习）设，则 （    ） A． B．25 C． D． 【变式2-1】（2023秋·天津河西·高三校考期末）已知，若，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2-2】（2023秋·高一课前预习）下列指数式与对数式的互化中不正确的是（    ） A．e0=1与ln 1=0 B．log39=2与=3 C．=与log8=- D．log77=1与71=7 【变式2-3】（2023·全国·高一假期作业）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【知识点2 对数的运算】 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 【题型3 对数的运算性质的应用】 【例3】（2023春·云南文山·高二校考阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知，则（    ） A．11或 B．11或 C．12或 D．10或 【变式3-3】（2023·天津河西·天津市校考模拟预测）已知，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【题型4 换底公式的应用】 【例4】（2023春·江苏南通·高一校考阶段练习）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023·四川泸州·四川省校考二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023秋·吉林长春·高一校考期末）已知，，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【题型5 指、对数方程的求解】 【例5】（2023春·北京·高一校考开学考试）方程的解为（    ）