专题04 二次函数与几何综合(4类经典题型+优选提升）-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（人教版）

6 学科网 好题汇编 WWW.ZXXK.COM 精选好题·分类汇编 专题04二次函数与几何综合 特殊三角形问题 题型归纳 特殊四边形问题 经典基础题 题型01 等腰三角形存在性问题 1.如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于A-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C(0,3),D为抛物线的顶点. A (1)求此二次函数的解析式： (2)求△CDB的面积： (3)在其对称轴右侧的抛物线上是否存在一点P,使△PDC是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】1)y=-x2+2x+3 (2)△CDB的面积是3 3)存在，点P的坐标为 3+V55-5 22 或(2,3) 【分析】(1)利用待定系数法即可求解： ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6学科网 好题汇编 WWW.ZXXK.COM 精选好题·分类汇编 (2)根据勾股定理的逆定理判断出△CDB是直角三角形即可求解； (3)分别讨论CD为等腰三角形的底边或腰，即可求解 【详解】(1)解：将(-1,0)，(3,0)，(0,3)代入y=ax2+bx+c, [0=a-b+c 得{0=9a+3b+c, 3=c a=-1 解得b=2, c=3 故此二次函数的解析式为y=-x+2x+3. (2)解：由y=-x2+2x+3=-(x-1)+4知，D(1,4) :B3,0),C(0,3) BC2=3-0j+(0-3)=18, BD2=(3-12+0-4=20, CD2=(0-1)+(3-4=2, BD2 BC2+CD2 △CDB是直角三角形，且LBCD=90°， .S.cm-CD.BC=xx3-3. 即△CDB的面积是3. (3)解：存在，点P的坐标为 3+N55-5 22 或(2,3). 由(2)，知D(1,4,对称轴为直线x=1, ①若以CD为底边，则PC=PD, 设点P的坐标为(x), 根据勾股定理，得x2+y-3=(x-1+(y-4。 y=4-x, 又：点P在抛物线上， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 2 学科网 好题汇编 WWW.ZXXK.COM 精选好题·分类汇编 .4-x=-x2+2x+3, .x2-3x+1=0 解得x=3+V5 5-35 2 2 :点P在其对称轴右侧的抛物线上，对称轴为直线x=1, 3+5 x= 2 5-5 y=4-x= 2 3+√55-V5 即点P的坐标为 2,2 ②若以CD为一腰， :点P在其对称轴右侧的抛物线上， 由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P的坐标为(2,3) 综上所述，点P的坐标为 3+V55-5 或(2,3) 22 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、二次函数与特殊三 角形问题。利用分类讨论思想是求解第三问的关键 2.如图，已知直线)=写x+4与*轴交于点A,与)轴交于点C,抛物线y=ar+br+c经过C两 点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-1. B 0 x (1)求抛物线的表达式： (2)已知点M是抛物线对称轴上一点，当MB+MC的值最小时，点M的坐标是- 3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求三角形ACD面积S的最大值及此时 D点的坐标： (4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P,使以点B,C,P为顶点的三角形是等腰三角形？若存 在，请求出P点的坐标：若不存在，请说明理由。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究 3 6学科网 好题汇编 WWW.ZXXK.COM 精选好题·分类汇编 【答案】()y=- 同)三角形4CD面积s的最大值是号此时点D的坐标是(5】 ④点P的坐标为-10或-同成1-或（号 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1, 6 2a =-1,b=2a, 直线y=x+4,当x=0时，y=4, 3 当=0时， 3x+4=0,解得x=-3,4-3,0,C(0,4, 44 :抛物线y=ax2+bx+c经过点A-3,0,C0,4), 4 b=2a a23 8 ∴9a-3b+c=0,解得： 3b= 3 c=4 c=4 :抛物线的解析式为：y= 428」 3+4 3r2 (2)解：如图1，设直线x=-1交AC于点E,连接AM、BE, E B o 图1 直线y= 3+4, 当时，+4 》 ”直线x=-I垂直平分AB :MB MA,EB EA, ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学科网 好题汇编 WWW.ZXXK.COM 精选好题·分类汇编 MB+MC=MA+MC MA+MC 2 AC, :当点M与点E重合时，MA+MC=AC,此时MA+MC的值最小， :MB+MC=MA+MC=EB+EC=AC,此时MB+MC的值最小，