2.2基本不等式讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

不等式 基本不等式 1、 知识梳理 定理：对于任意实数都有，当且仅当时，等号成立。 如果，那么当且仅当时等式成立。 不等式链即，则 （调和均值几何均值算术均值平方均值），当且仅当时等号成立。 二、基本不等式应用：利用基本不等式求最值。 利用基本不等式求最值的时候要注意 1.各项必须都为正。例如，当时，。并不是直接利用基本不等式得到。 2.含变量的各项的和或积必须为常数。 3.只有当各项相等时，才能利用算术平均数和集合平均数的关系求出某些函数的最大和最小值。 以上三个结论可以总结为：一正、二定、三相等。 例1.求下列函数的最值。 （1）已知，求的最大值。 （2）已知，求的最小值。 （3）已知，求的最大值。 例2.已知且求的最小值。 例3.已知，求函数的最小值。 四、基本不等式与函数的关系： 1.有关不等式的问题通常可以化归为函数问题解决。 2.关于函数的单调性的讨论。 例4.求的最小值。 例5.设函数，则（） A. 有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数 例6.已知正数满足，求的最小值。 练习 1. 已知，则的最大值为___________. 2. 函数的值域为___________. 3. 已知，且求的最小值。 4.已知为正实数，且则的最大值为__________. 5.若正数满足，则的取值范围是_________. 6.已知不等式的解集为 （1）求的值；（2）求函数的最小值。 命题方向： 1. 直接给条件求最值 (1)若实数满足，则的最小值为_________. (2)设正实数满足，则当取最大值时，的最大值为（） A.0 B.1 C. D.3 1 $$