2.4 一元二次方程根与系数的关系（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（湘教版）

*2.4 一元二次方程根与系数的关系 第2章 一元二次方程 优翼数学教学课件（XJ）九上 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想：方程的根与系数 a，b，c 之间还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式来判断一元二次方程根的情况？ 对于一元二次方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0)，其判别式 Δ = b2 - 4ac. 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 Δ < 0 时，方程无实数根. 导入新课 探索一元二次方程的根与系数的关系 算一算 解下列方程并完成填空： (1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 -4 1 2 3 -1 x1 + x2 = -3 x1·x2 = -4 x1 + x2 = 5 x1·x2 = 6 将二次项系数化为 1 新课讲授 猜一猜 （1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 重要发现 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式 (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 猜一猜 （2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么你可以发现什么结论？ 证一证： 注：b2 - 4ac≥0 ↗ 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为 x1， x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 Δ = b2 - 4ac≥0. 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）2x2 - 3x + 1= 0； 解：这里 a = 2，b = -3，c = 1. Δ = b2 - 4ac = (- 3)2 - 4 × 2 ×1 = 1 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2， 那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = . （2）x2 - 3x + 2 =10. 解：这里 a = 1，b = -3，c = -8. Δ= b2 - 4ac = (- 3)2 - 4 × 1 × (-8) = 41 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = 3 ， x1 x2 = -8 . （3）7x2 - 5 = x + 8. 解：这里 a = 7，b = -1，c = -13. Δ = b2 - 4ac = (-1)2 - 4 × 7 ×(-13)= 365 > 0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ， x1 x2 = . 例2 已知方程 x2 + 3x + q = 0 的一个根是 -3，求它的另一个根及 q 的值. 解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1 = -3 . 所以 x1 + x2 = -3， 即 x2 = 0 由于 x1·x2 = q = (-3)·0 = 0 得 q = 0. 答：方程的另一个根是 0，q = 0. 变式：已知方程3x2-18x+m = 0的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的两个根分别是 x1、x2，其中 x1 = 1. 所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， 即 x2 = 5 . 由于 x1·x2 = 1×5 = 得 m = 15. 答：方程的另一个根是 5，m = 15. 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒