4.1 正弦和余弦（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（湘教版）

4.1 正弦和余弦 第4章 锐角三角函数 第1课时 正 弦 优翼数学教学课件（XJ）九上 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使 出水口的高度达到 35 m，需要准备多 长的水管？ 情境引入 30° 导入新课 正弦的概念 从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ A B C 30° 35 m ? 合作探究 新课讲授 A B C 30° 35 m 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB. 根据“直角三角形中30°角所对的 边等于斜边的一半”，可知 ∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m). 故需要准备 70 m 长的水管. 如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于 . 归纳： 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ A B C A' B' C' 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以 这说明，在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 归纳： 如图，在 直角三角形中，我们把锐角 α 的对边与斜边的比叫作∠ α 的正弦，记作 sin α ，即 例如，当∠α ＝30° 时，我们有 α c a b 对边 斜边 归纳： 角 α 的对边 斜边 sin α = (2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16. 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， BC = 3，AC = 5. （1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值. A B C 5 3 典例精析 解：(1)∠A 的对边 BC = 3，斜边 AB = 5，于是 因此 于是 AC = 4. sin A = ( ) sin A = ( ) 1. 如图，判断对错： A 10 m 6 m B C √ × 练一练 sin B = ( ) × sin A = 0.6 ( ) sin B = 0.8 ( ) √ √ 2. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值 ( ) A. 扩大 100 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4． A (3，0) 在 Rt△APO 中，由勾股定理得 因此 α 方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin α 等于 ( ) O x y P (a，b) α A.