3.5 相似三角形的应用（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（湘教版）

3.5 相似三角形的应用 第3章 图形的相似 优翼数学教学课件（XJ）九上 世界上最高的树 —— 红杉 导入新课 乐山大佛 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 台北101大楼 C 利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题. 问题: 如图，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 利用相似三角形测量宽度 A B 如图，在池塘外取一点C，使它可以直接看到A，B 两点，连接并延长AC，BC，在 AC 的延长线上取一点 D，在 BC 的延长线上取一点E，使测量出 DE 的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出 A，B 间的距离了. C D E 新课讲授 例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点 P，在近岸取点 Q 和 S，使点 P，Q，S共线且直线 PS 与河垂直，接着在过点 S 且与 PS 垂直的直线 a 上选择适当的点 T，确定 PT 与过点 Q 且垂直 PS 的直线 b 的交点 R. 已知测得 QS = 45 m， ST = 90 m，QR = 60 m，请根据 这些数据，计算河宽 PQ. P R Q S b T a PQ×90 = (PQ + 45)×60. 解得 PQ = 90. 因此，河宽大约为 90 m. 解：∵∠PQR =∠PST = 90°，∠P = ∠P， ∴△PQR∽△PST. P R Q S b T a ∴ ， 即 ， 还有其他构造相似三角形求河宽的方法吗？ 45 m 90 m 60 m 例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A，再在河的这一边选点 B 和 C，使 AB⊥BC，然后，再选点 E，使 EC⊥BC ，用视线确定 BC 和 AE 的交点 D．  此时如果测得 BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m， 求两岸间的大致距离 AB． E A D C B 60 m 50m 120 m 解：∵ ∠ADB ＝ ∠EDC，   ∠ABC ＝ ∠ECD ＝ 90°，   ∴ △ABD∽△ECD.   ∴ ， 即 ， 解得 AB = 100. 因此，两岸间的大致距离为 100 m. E A D C B 60 m 50 m 120 m 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 归纳： 利用相似三角形测量高度 据传说，古希腊数学家、天文学家开勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 例3 如图，木杆 EF 长 2 m，它的影长 FD 为 3 m，测得 OA 为 201 m，求金字塔的高度 BO. 怎样测出 OA 的长？ 解：太阳光是平行的光线，因此 ∠BAO =∠EDF. 又 ∠AOB =∠DFE = 90°，∴△ABO ∽△DEF. ∴ . ∴ =134 (m). 因此金字塔的高度为 134 m. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 测高方法一： 测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 归纳： 例4 如图，小明为了测量一棵树 CD 的高度，他在距树 24 m 处立了一根高为 2 m 的标杆 EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距 27 m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高 1.6 m，求树的高度. 解析：人、树、标杆相互平行，添加辅助线，过点 A 作 AN∥BD 交 A E C D F B N CD 于 N，交 EF 于 M，则可得 AEM∽△ACN. M 解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N，交 EF 于 M， ∵人、标杆、树都垂直于地面， ∴∠ABF =∠EFD =∠CDF = 90°. ∴AB∥EF∥CD . ∴∠EMA =∠CNA. ∵∠EAM =∠CAN， ∴△AEM ∽ △ACN . ∴ . ∵AB = 1.6 m，EF = 2 m，BD = 27 m，FD = 24 m， ∴ . ∴CN = 3.6 m. ∴CD = 3.6 + 1.6 = 5.2(m). 故树的高度为 5.2 m. A E C D F B N M 例5