专题04 二次函数的应用（讲+练，八大知识点）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版）

专题04 二次函数的应用 ★知识点1：图形问题 ◆1、求二次函数y＝ax2+bx+c最值的方法 （1）用配方法：将y＝ax2+bx+c化成y＝a(x﹣h)2+k的性质，当自变量x=h时，y有最大（小）值为k； （2）用公式法：x=时，函数y＝ax2+bx+c有得最大（小）值为. ◆2、二次函数与图形面积 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. 典例分析 【例1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图所示，矩形花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值． 【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）某建筑工程队借助一段废弃的墙体，长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸（图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上），设米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为平方米，平方米．    (1)分别写出与x的函数关系式； (2)小红说：“的最大值为384．的最大值为507．”你同意吗？请说明理由． 【即学即练】 1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为． (1)如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边长为，求鸡棚与墙垂直的一边的长（用含a的式子表示） (2)设鸡棚与墙垂直的一边的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围 (3)试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于，若可以，求出此时的长，若不行，请说明理由． 2．（2023·陕西·统考中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，． 要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求方案一中抛物线的函数表达式； (2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． ★知识点2：图形运动问题 典例分析 【例1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）    A．  B．  C．D．   【例2】（2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（　　）    A．  B．  C．  D．   即学即练 1．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，平行四边形中，，动点沿匀速运动，运动速度为，同时动点从点向点匀速运动，运动速度为，点到点时两点同时停止运动．设点走过的路程为，的面积为，能大致刻画与的函数关系的图像是（　　） A．B．C．D． 2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，在中，，，点分别从点和点同时出发，以相同的速度沿射线向左匀速运动，过点作，垂足为，连接，设点运动的距离为，的面积为，则能反映与之间的函数关系的图象大致为（　　） A．B．C．D． ★知识点3： 拱桥问题 ◆1、建立二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． ◆2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5） 根据求得的解析式进一步分析、判