第二章 一元二次方程（章末复习）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

章末讲义 第二章 一元二次方程 北师大版 九年级上册 一元二次方程组概念：只含有_______未知数（元）， 并且未知数最高次数是_____， 等号两边都是________， 这样的方程叫一元二次方程。 一个 2 整式 ax 2 + bx + c = 0（a≠0） 一元二次方程的一般形式为___________________________________。 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 为什么a≠0 有关概念 一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。 判别式概念： 表示： 通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac. 有关概念 当时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数， 两根的积等于常数项与二次项系数的比， 即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为： x1+x2 x1x2 = 人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。 【易错点】使用韦达定理的前提条件：1) 先把方程化为一般式。 2) Δ≥0。 有关概念 四种方法 一般地，对于方程x2＝p ①， 1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个____________的实数根______________________； 2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________； 3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程① _______实数根。 不相等 相等 x1＝x2＝0 无 ≥ x1＝- , x2＝ 四种方法 一般地，对于方程(mx＋n)2＝p ②， 1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个________的实数根______________________； 2)当p＝0时方程②有两个_______的实数根_______________； 3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2 ____0，所以方程② _______实数根。 不相等 相等 x1＝x2＝ 无 ≥ x1＝ , x2 ＝ 四种方法 将方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 用配方法解一元二次方程的关键： 将一元二次方程配成完全平方形式。 四种方法 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p ① 的形式，那么就有： 1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个________________的实数根______________________； 2)当p＝0时，方程①有两个________________的实数根______________________； 3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______实数根。 不相等 相等 x1＝x2＝-n 无 ≥ x1＝-n-，x2＝-n+ 四种方法 【提问】简述通过配方法解一元二次方程的步骤。 1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； 2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； 4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式； 5）判断右边代数式的符号，若p≥0，可以利用直接开方法求解； 若p<0，原方程无实数根。 四种方法 当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的求根公式。 解一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以省略配方过程而直接求一元二次方程根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 四种方法 【提问】简述通过公式法解一元二次方程的步骤。 3）如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式。 【易错点】a、b、c的值代入求根公式时易遗漏前面的符号。 1）将原方程化为一般形式，确定a、b、c的值 【小技巧】若系数是分数通常将其化为整数，方便计算。 2）求出b2-4ac的值，根据b2-4ac值的情况确定一元二次方程是否有解。 4）最后求出原方程的解。 四种方法 先因式分解，使一元二次方程转化为两个一次式乘积等于0的形式，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 四种方法 通过因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.移项。使一元二次方程等式右边为0； 2.分解。把左边运用因式