4.5 相似三角形的性质及其应用（第1课时）同步练习 2023-2024学年浙教版数学九年级上册

浙教版2023年九年级上册4.5相似三角形的性质及其应用(第1课时)同步练习 【知识梳理】 知识点一:相似三角形对应高的比等于相似比.相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 一般地,我们有:相似三角形对应线段的比等于相似比. 知识点二:重心的概念: 重心的定义:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 重心的性质:三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段. 【例题】 【例1】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( ) A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【例2】三角形的重心是( ) A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线的交点 C.三角形三条边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平行线的交点 【例3】如图△ABC中,G为重心,若AG=2,则AD= 。 【例4】如图,在△ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为 . 【例5】如图,已知,且,连接AC,BD相交于点于点于点,求证:. 【基础训练】 1.如图,△ABC中线AD,BE交于点F,EG∥BC,交AD于点G,则GF:AG等于( ) A.1:2 B.3:5 C.2:3 D.1:3 2.如图,在中,是边上的中线,点G是的重心,过点G作交于点F,那么( ) A. B. C. D. 3.中,斜边,其重心与外心之间的距离为( ) A.9 B.6 C.3 D.0 4.如图,已知AM和DN分别为和的中线,在一条直线上,,若BC=6,则MN的长为 5.如图,ΔABC中,点E在AD上,且点E是ΔABC的重心,若=18,则等于 。 6.三角形的三条 线交于一点,这点称为三角形的重心. 7.如图,点G是的重心,连接并延长交于点D,交于点E,若,那么 . 8.如图,AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线,且 .判断△ABC和△A′B′C′是否相似,并说明理由. 9.三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图G是 的重心.求证: . 10.如图,一块材料的形状是锐角三角形,边,高,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在上,其余两个顶点分别在、上,这个正方形零件的边长是多少? 【培优训练】 11.如图,点G是的重心,于点H,若,,则△ABC的面积为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 12.如图,已知在中,点是三角形的重心,过点作,交于点,交于点,若,则的值为( ) A.9 B.10.5 C.12 D.14 13.如图,有一块三角形余料ABC,它的面积为36,边cm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,则加工成的正方形零件的边长为( )cm A.8 B.6 C.4 D.3 14.如图,△ABC是一块锐角三角形材料,高线AH长8 cm,底边BC长10 cm,要把它加工成一个矩形零件,使矩形DEFG的一边EF在BC上,其余两个顶点D,G分别在AB,AC上,则四边形DEFG的最大面积为( ) A.40 cm2 B.20 cm2 C.25 cm2 D.10 cm2 15.如图,G是△ABC的重心,延长BG交AC于点D,延长CG交AB于点E,P,Q分别是△BCE和△BCD的重心,BC长为12,则PQ的长为( ) A.2 B.2.5 C.3 D.4 16.如图,G为的重心,点D在延长线上,且,过D、G的直线交于点E,则为( ) A. B. C. D. 17.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AF平分∠BAC,交DE于点G,交BC于点F.若∠AED=∠B,且AG:GF=3:2,则DE:BC= . 18.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,CD是斜边AB上的中线,G是△ABC的重心,GH⊥AB于H,则GH= . 19.如图,正方形EFGH内接于 ,AD⊥BC于点D,交EH于点M,BC=10cm,AD=20cm.则正方形EFGH的边长是 . 20.已知:如图,在梯形中,,,对角线相交于点E,且. (1)求证:; (2)点F是边上一点,连接,与相交于点G,且,求证:. 21.数学思想方法作为数学学科的一般原理,在数学学习中至关重要.我们经常运用类比,转化,从特殊到一般等思想方法来解决一些数学问题. 如图①,在平行四边形中,点E是边的中点,点F是线段上一点,的延长线交于点.若,求的值. (1)【尝试探究】 在图①中,过点E作交于点,则的值为 ,的值为 ,的值为 . (2)【类比延伸】 如图②,在原题的条件下,若,则的值为 (用含的代数式表示). (3)【拓展迁移】 如图③,若点F在线段的延长线上,的延长线交的延长线于点,,则的值为 (用含n的代数式表示). 22.如图,